Make your own free website on Tripod.com

הבה נלמד מתמטיקה. פונקציות (רחל בוהדנה, 1994)

Рахель Богдана Давайте учить математику. Функции

Таблица символов

J - Упражнение для классной работы с участием учителя и класса, может сопровождать объяснение в качестве примера.

K - Упражнение для самостоятельной работы учащихся после показа учителя (по мере необходимости).

L - Упражнения на дом.

Q - Трудная задача(стимулирующее упражнение).

> - Работа в группе из 3-6 учеников, в различных группах в сочетании с руководством учителя и для всего класса.

^ - Игра. Правила игры даются в книге.

( - Упражнение с использованием координатной системы, помещенной в конце книги, и с прямыми на прозрачном листе.

y - Упражнения с использованием научного калькулятора.

x - Загадка.

_ - Указания и примечания, которые следует обсудить в классе.

<- Резюме параграфа или главы.

Учащемуся

Перед тобой книга, которая посвящена понятию функции - одному из основных в математике и других науках. В этой книге ты познакомишься с различными функциями, способами их описания и применения. В книге две главы, каждая глава подразделена на параграфы, а каждый параграф состоит из уроков. Около каждого упражнения помещается символ, объясняющий его предназначение( см. таблицу символов). Многие упражнения книги предназначены для самостоятельной работы на уроках и для заданий на дом. Можно выбирать среди них необходимые упражнения. Дополнительно в книгу включены игры, используемые в ходе уроков. Изучение книги должно сопровождаться работой на калькуляторе. Мы надеемся, что ты будешь доволен этой книгой. Учись с удовольствием !

Стр. 9 - 10

Глава 1

Что такое функция

>Упражнение 1. За одним столом можно посадить 6 человек таким образом(рис.):

Для вечеринки в честь дня рождения были приглашены гости, поэтому добавили второй стол(см. рис.). a).Сколько гостей можно усадить за двумя столами?

b).Таким же образом добавили еще один стол к двум предыдущим.(Рис.) Сколько теперь можно усадить людей?

Мы образовали соответствие : любому числу столов мы поставили в соответствие число людей, которые могут усесться за ними.

c). Дополни :

1 столу соответствуют 6 человек.

2 столам соответствуют __ человек.

__ столам соответствуют 14 человек.

4 столам соответствуют __ человек.

d). Стрелка между каждой парой чисел на диаграмме указывет на соответствие между числом столов и числом людей, которые можно усадить за этими столами. Дополни опущенные числа.

Число столов Число людей

1 6

2 __

3 __

4 __

5 __

6 26

7 __

8 __

 

e).Отметь верные утверждения и исправь остальные.

увеличением числа столов число людей вокруг них возрастает.

возрастанием числа столов на 1 число людей возрастает на 6.

-Когда число столов возрастает вдвое, число людей также возрастает вдвое.

-Если добавляют 10 столов, можно добавить 40 мест.

-Если добавляют x столов, то можно добавить 4x мест.

_Мы построили здесь соответствие между одним множеством (множество столов) другому множеству(множество людей) согласно определенному закону. Например, 3 столам соответствуют 14 людей, это записывают так 3 14. Такое соответствие называется функцией.

Стр. 11 - 13

f ). Один из участников вечеринки предложил расставить столы иначе(см. рис.).

Дополни :

1 столу соответствуют 6 человек.

2 столам соответствуют __ человек.

3 столам соответствуют __ человек.

4 столам соответствуют __ человек.

g). Дополни опущенные числа в диаграмме , соответстующей новому порядку.

Число столов Число людей

1 6

2 __

3 __

4 __

5 14

6 __

7 __

8 __

12 __

h).Отметь верные утверждения и исправь остальные.

увеличением числа столов число людей вокруг них возрастает.

возрастанием числа столов на 1 число людей возрастает на 6.

-Если добавляют 8 столов, то можно добавить 16 мест.

-Если добавляют x столов, то можно добавить 2x мест.

i).В твоем распоряжении 12 столов. В каком порядке(из раздела b или f можно усадить больше людей.

j).Сколько столов требуется в каждом из порядков, чтобы усадить 21 человека.

KУпражнение 2. Определим функцию: каждому числу черных квадратов в строке поставим в соответствие некоторое число белых квадратов( см. рис.).

a). Дополни.

Число черных квадратов Число белых квадратов

1 2

2 __

5 __

__ 6

__ 12

10 __

__ 30

x __

b). Сколько белых квадратов, если в строке 25 черных квадратов? -в строке 100 черных квадратов? строке х черных квадратов?

c). Сколько черных квадратов в строке, если мы насчитали 80 белых квадратов? -если насчитали 100 белых квадратов?

d). Предположим, что было 15 белых квадратов? Если так, сколько черных квадратов в строке? Если это невозможно, объясни почему.

Qe). Сколько черных квадратов в строке, если насчитали a белых квадратов?

LУпражнение 3. Йоси рисует стулья (Рис.) a).Сколько стульев на рисунке? Сколько ножек у этих стульев? b).Сколько ножек у 8 таких стульев? c).Каково

 

 

число стульев если ножек всего 40? d).Определим функцию: любому числу стульев поставим в соответствие число их ножек. Дополни:

Число стульев Число ножек

1 __

2 8

3 __

5 __

__ 40

12 __

e).Дополни, чтобы получить правильные утверждения.

-Когда число стульев возрастает на 1, число ножек увеличивается на __.

-Если стульев 25, то число ножек __.

-Если стульев х, то число ножек __.

-Если число стульев возрастает в 2 раза, то число ножек ворастает в __ раза.

-Число ножек всегда делится на __.

Стр. 14 - 15

LУпражнение 4. Строим башни из спичек. Определим функцию : любому числу этажей башни поставим в соответствие необходимое число спичек.

a).Моше строит башни из треугольников (см. рисунок : 1 этаж, 2 этажа, 3 этажа ...)

В одноэтажной башне использовано 3 спички.

-Сколько спичек в башне из 2 этажей?

-Сколько спичек в башне из 3 этажей?

-Начерти башню из 4 этажей и найди сколько спичек в этой башне?

b).Дополни: Башне, в которой 1 этаж, соответствуют __ спичек.

Башне, в которой 2 этажа, соответствуют __ спичек.

Башне, в которой 4 этажа, соответствуют __ спичек.

Башне, в которой -- этажа(-ей), соответствуют 21 спичка.

c).Дополни пропущенные числа в диаграмме со стрелками.

Число этажей в башне Число спичек

1 3

2 __

3 __

4 __

5 15

__ 21

__ 27

10 __

x __

d).Ури строит башни из пятиугольников (см. рисунок : 1 этаж, 2 этажа, 3 этажа ...)

Дополни диаграмму Ури недостающими числами.

Число этажей в башне Число спичек

1 5

2 __

3 __

7 __

__ 20

x __

d).Моше и Ури строят каждый башню из 60 спиченк. В чей башне больше этажей?

e).У Моше 42 спички, у Ури 60 спичек. Кто из них построит башню с большим числом этажей?

f ).Моше и Ури получили каждый по 72 спички. Оба они пытались построить как можно более высокую башню. У кого из них остались спички? Сколько?

g).Оба строителя получили одинаковое число спичек и воспользовались всеми при постройке башен.

-Возможно ли, чтобы каждый из них получил по 27 спичек?

-Возможно ли, чтобы каждый из них получил по 35 спичек?

-Возможно ли, чтобы каждый из них получил по 120 спичек?

 

Стр. 16 - 19

График функции

JУпражнение 1. На рисунке, что перед тобой, цепочка спичек из трех звеньев.

a).Нарисуй цепочку из 2 звеньев. Сколько спичек в цепочке?

b).Нарисуй цепочку из 5 звеньев. Сколько спичек в цепочке? Определим функцию: любому числу звеньв в цепочке поставим в соответствие необходимое число спичек.

c).Дополни:

Число звеньев Число спичек

1 __

2 __

3 __

5 __

__ 28

__ 40

x __

d).Запишем соответствие между числом звеньев и числом спичек в виде упорядоченной пары. Например, 1 4 запишем в виде (1, 4). Объяснение: одному звену соответствуют 4 спички.

Заполни : (2 , ), (5 , ), ( , 28), ( , 40).

e).Обозначенная на системе координатных осей точка A соответствует паре (1, 4). Какая пара соответствует точке B?(Рис., число спичек , число звеньев ).

f ).Заполни и нанеси на систему координат следующие пары: (3, ), (4, ), (5, ).

_Совокупность всех точек в системе координатных осей, описывающая функцию, назвается графиком функции.

g). Принадлежит ли точка (8, 32) графику нашей функции? Аргументируй.

Принадлежит ли точка (10, 45) графику нашей функции? Аргументируй.

h).Моше сказал: я уверен, что точка (20, 80) принадлежит графику функции. Это справедливо? Объясни.

JУпражнение 2. Создаем картинки из бусинок. (Рис.)

a).Сколько белых бусинок на картинке, в которой 1 черная бусинка? 2 черные бусинки? 3 черные бусинки?

b).Нарисуй картинку, в которой 4 черных бусинки. Сколько белых бусинок на картинке?

c).Нарисуй картинку, в которой 5 черных бусинок. Сколько белых бусинок на картинке?

d).Дополни:

Число черных бусинок Число белых бусинок

1 __

2 __

3 7

4 __

__ 11

7 __

__ 21

e).Запишем соответствие 1 3 в виде упорядоченной пары (1, 3), что объясняется так: одной черной бусинке соответствуют 3 белых бусинки. Запиши числа на диаграме в вопросе d как упорядоченные пары.

f ).Какой смысл у пары (3, 7)?

g).В системе координатных осей отмечены две точки.(Рис. Число белых бусинок , Число черных бусинок ). Заполни и добавь на рисунок следующие пары : (2, ), (4, ), (7, ), ( ,11) , ( , 21).

h). Принадлежит ли точка (6, 13) графику нашей функции? Аргументируй.

i). Принадлежит ли точка (8, 16) графику нашей функции? Аргументируй.

Qe). Возможна ли картинка, в которой число черных бусинок равно числу белых бусинок? Аргументируй.

x Загадка

Некоторое число людей пришло на прием. Каждый из них пожимал руку всем, кто

 

приходил за ним. a). Сколько было рукопожатий, если на прием пришло 4 человека? b). Сколько было рукопожатий, если на прием пришло 10 человек?

c). Сколько людей пришло на прием, если рукопожатий было 15?

Стр. 20 - 22

>Упражнение 3. Перед тобой график функции, описывающей количество воды в бассейне с 6:00 утра до 18:00 вечера(Рис. Количество воды в м.куб , Время ). Прочти с графика : a).Сколько куб. м. воды было в бассейне

- в 6:00? ____. - в 9:00? ____. - в 12:00? ____. - в 17:00? ____.

b).Когда в бассейне было 44 м.куб. воды? в _____ часов. в ____ часов.

c).Обведи кружком верный ответ.

-От 6:00 до 12:00 количество воды: уменьшалось/росло/не изменялось

-От 12:00 до 15:00 количество воды: уменьшалось/росло/не изменялось

-От 15:00 до 18:00 количество воды: уменьшалось/росло/не изменялось

d).Дополни согласно графика:

Время Воды в м.куб.

6:00 ___

6:30 ___

10:30 ___

13:15 ___

15:00 ___

18:00 ___

e).Дополни согласно графика:

Время Воды в м.куб.

Например: 11:00

15:30 20

_______

_____ 36

_______

_____ 52

f ).Какие из следующих высказываний - истинные?

- В 14:00 в бассейне было 12 куб. м. воды.

- В 17:00 в бассейне было то же количество воды, что и 9:00.

- В 16:00 в бассейне было меньше воды, чем в 8:00.

g).-Находится ли точка (10:30, 24) на графике функции? Объясни.

-Находится ли точка (16:00, 34) на графике функции? Объясни.

h). Выпускали ли воду из бассейна? Если да, то в какой период времени?

i). Добавляли ли воду в бассейн? Если да, то в какой период времени?

j).Каким было максимальное количество воды в бассейне? Когда?

k). Каким было минимальное количество воды в бассейне? Когда?

l).Только для хороших пловцов . Учитель спросил: в котором часу воды в бассейне было 12 м. куб. ? Все ученики класса дали разные ответы и все были правы. Такое возможно?

>Упражнение 4. В зимний день измеряли температуру в Цфате каждый час. Функция соответствия времени температуре в градусах Цельсия дана в таблице.

Время

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Температура С

-3

0

8

14

16

14

9

6

2

1

a).Дополни согласно таблицы.

Время Температура

1 __

2 __

5 __

10 __

__ 9

__ 2

b). Какие из следующих высказываний - истинные?

-Между шестым и седьмым часом температура поднялась на 5С.

 

-Наиболее низкая температура зафиксирована в первый час.

-Температура 0С была за время наблюдения дважды.

-За это время температуры 12С не было.

-Температура 3С была между вторым и третьим часом и между восьмым и девятым часом.

начала измерений и до пятого часа температура возросла на 19С.

Стр. 23 - 27

c).В системе координатных осей, которая перед тобой, нанесена часть точек измерения из таблицы. (Рис. Температура С , Время ). Добавь на чертеж соответствующие точки измерений, которые не нанесены. Соедини точки между собой.

d).В какой час получена наивысшая температура и какова она?

e). В какой час получена самая низкая температура и какова она?

f ).Когда была получена температура 14С?

g).Дополни: температура 10С получена в интервале от ___ до ___ часов и от ___ до ___ часов.

h). На сколько градусов поднялась температура от первого часа до второго? -от второго часа до третьего?

i). Обведи кружком правильный ответ.

-Между часами первым и пятым температура росла/понижалась.

-Между часами седьмым и десятым температура росла/понижалась.

_График функции дает нам общую картину поведения функции, он позволяет нам получать разнообразную информацию.

KУпражнение 5. Перед тобой график функции(Рис.).

a). Запиши координаты точек, отмеченных в системе координат. Например, A(-3, 4),

B( , ), C( , ), D( , ), E( , ), F( , ), G( , ), H( , ), I( , ).

b). Запиши все пары с помощью стрелок соответствия. Например,

-3 ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____

4 ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____

LУпражнение 6. Моше строит башни из треугольников так(Рис.):

Ури строит башни из пятиугольников так(Рис.):

Определим функцию: каждому числу этажей башни поставим в соответствие необходимое число спичек.

a).Какой из графиков описывает функцию, соответствующую башням Моше, а какой - башням Ури? Объясни.( Рис. I, II . Число спичек , Число этажей ).

Qb).Оба строителя получили одинаковое число спичек и использовали их все для строительства башен. Что ты можешь сказать о числе полученных спичек?

LУпражнение 7. Ученики собрали деньги на подарок. Каждый сдал 2 шекеля. Определим функцию соответствия любого числа учеников сумме собранных денег в шекелях.

a).Заполни таблицу.

Число учеников

3

5

6

8

 

11

Собранная сумма в шекелях

 

 

 

 

20

 

b).Нанеси на систему координат пары из таблицы.

(Рис. Сумма денег в шекелях , Число учеников ).

c).Заполни следующие пары соответствующих чисел и нанеси их на систему

координат. (1, ), (2, ), ( , 8 ), (7, ), ( , 18).

d).Находится ли точка (6, 12) на графике функции? Объясни.

e).Будет ли точка (15, 17) на графике функции? Объясни.

f ).Заполни пропущенное, если известно, что точка (х, ) находится на графике функции.

LУпражнение 8. В холодный зимний день измеряли температуру в Иерусалиме.

Перед тобой график, который описывает функцию, ставящую в соответствие час и температуру, измеренную в этот час.(Рис. Температура(С), Часы)

a).Какой была температура в 9:00? в 15:00? b).Когда измерена самая высокая температура и какова она? c).Когда измерена самая низкая температура и

 

какова она? d).В какие моменты времени измерена температура 0С? e).Какой была температура, когда приступили к измерениям? f). В какие моменты времени температура была 2С? g).Точка (19, 3) находится на графике функции. Смысл этого в том, что в 19:00 была температура ___. Какой смысл у точки (15, 5)? точки (6, -2)? h).Находится ли точка (10, 2) на графике функции? Объясни.

i). Обведи кружком правильный ответ.

-От начала измерений и до 6 часов температура росла/понижалась.

-От 6 часов до 12 температура росла/понижалась.

-От 12 до 22 часов температура росла/понижалась.

Стр. 28 - 30

Функции и движение

JУпражнение 1. a).Две группы туристов двигались в течение 3 часов. Одна группа шагала со скоростью 6 км/ч, а вторая со скоростью 4 км/ч. Какая из групп прошла большее расстояние?

b).Скорость такси больше скорости автобуса. Каждое из этих транспортных средств преодолело 200 км. Которое из них ехало дольше?

c).Дани и Ури соревновались на беговой дорожке. Дани в этом соревновании победил. Кто из них бежал больше времени? Кто из них бежал с более высокой скоростью?

_Автомобиль преодолел 240 км за 3 часа. На некоторых отрезках пути машина ехала медленнее, а на других отрезках - быстрее. Мы можем сказать, что автомобиль двигался со скоростью 80 км в час в среднем. Т.е. он ехал со скоростью 80 км/ч.

KУпражнение 2. a).Машина проходит каждый час 70 км. Говорят, что средняя скорость машины равна 70 км/ч. Сколько км проходит машина за 2 часа? за 5 часов? за 11/2 часа?

b).Скорость автобуса 80 км/ч. Сколько км проходит автобус за один час? за 2 часа? за 5 часов?

c).Велосипедист едет со скоростью 20 км/ч. Сколько км он проедет за один час? за 2 часа? за 31/2 часа?

JУпражнение 3. a).Грузовик преодолел путь в 180 км за 4 часа. Грузовик проходил в среднем ___ км каждый час. Его скорость ___ км/ч.

b).Поезд прошел путь в 350 км за 5 часов. Поезд проходил в среднем ___ км каждый час. Его скорость ___ км/ч.

c).Автобус ехал 1/2 часа со скоростью 60 км/ч. Автобус проехал ___ км.

d).Парень шел 2 часа со скоростью 4 км/ч. Парень прошел ___ км.

KУпражнение 4. a).Автомобиль едет со скоростью 70 км/ч.

Заполни: машина проходит 140 км за ___ часа. 210 км за ___ часа. ___ км за 1/2 часа, ___ км за 41/2 часа.

b).Такси вышло в 7:00 утра. Сначала оно проехало 160 км со скоростью 80 км/ч, а затем еще 90 км со скоростью 60 км/ч. Сколько часов ехало такси? Когда такси прибыло в пункт назначения?

x Загадка

Компания такси объявляет: Мы ездим в среднем со скоростью 90 км/ч. Человек хочет приехать в 8:00 утра в пункт на расстоянии 45 км от его

дома. На какое время ему следует заказать такси, если с момента заказа и до прибытия такси проходит 20 минут?

JУпражнение 5. Велосипедист ехал со скоростью 20 км/ч. Определим функцию, которая приводит в соответствие число часов и длину пути велосипедиста в км .

a).Заполни таблицу, соответствующую нашей функции :

Продолжительность времени в часах

1

2

 

31/2

4

 

Длина пути в км

20

 

60

 

 

100

b).Отметь в координатной системе точки нашей таблицы. (Рис. Длина пути в км ,

Время в часах ). Соедини точки. Какова форма графика?

c).Какова длина пути, пройденного велосипедистом в течении 3 часов? в течение 41/2 часов?

d).Дополни: 3 ___ , 41/2 ___ .

 

 

e).Дополни в следующие пары длину пути: (2, ), (31/2, ).

f ).Велосипедист преодолел 30 км. Сколько часов он ехал?

g).Дополни: ___ 80 , ___ 100 .

Стр. 31 - 34

JУпражнение 6. Группа пешеходов вышла в 6:00 утра(час 0) и шла со средней скоростью 4 км/ч. Прошли три часа и затем отдыхали в течение часа. После этого они продолжили идти еще три часа со средней скоростью 3 км/ч. Перед тобой график, описывающий функцию, которая ставит в соответствие времени, прошедшему с момента старта, пройденный за это время путь в км. (Рис. Длина пути в км , Время в часах ).

a).Какова длина пути, который преодолели пешеходы за 2 часа? за 3 часа?

b).Заполни: 1 ___, 1/2 ___, 3 ___, 31/2 ___, 4 ___, 6 ___.

c).Что описывает график в пределах отрезка между третьим часом и четвертым ?

d).За сколько часов прошли пешеходы 10 км?

e).Дополни : ___ 6 , ___ 15, ___ 21 .

LУпражнение 7. Автомобиль движется со скоростью 60 км/ч.

a).Сколько км пройдет машина за один час? за 3 часа? за 41/2 часа?

b).За сколько часов пройдет машина путь в 120 км? путь в 150 км?

LУпражнение 8. Автобус ехал со скоростью 85 км/ч в течение 2 часов, затем 3 часа со скоростью 80 км/ч. Какой путь он преодолел?

LУпражнение 9. Грузовик едет со скоростью 50 км/ч. Определим функцию соответствия между временем движения в часах и длиной пройдекнного грузовиком пути в км.

a).Заполни таблицу, соответствующую нашей функции.

Время в часах

1

2

21/2

 

6

Длина пути в км

50

 

 

200

 

b).Обозначь в координатной системе точки из таблицы и соедини их. (Рис. Длина пути в км , Время в часах ).

c).Найди : -какое расстояние прошел грузовик за 3 часа? - заполни 4 ___. -за сколько часов грузовик пройдет 250 км? - заполни ___ 200.

x Загадка

Моше и Дани вышли навстречу друг другу каждый со скоростью 4 км/ч. Каким будет расстояние между ними за 1/2 часа до встречи?

JУпражнение 10. Перед тобой график, описывающий функцию, которая времени в часах ставит в соответветствие путь в км, пройденный автомобилем. (Рис. Длина пути в км , Время в часах ).

a).Сколько км прошла машина за один час? за 3 часа?

b).Сколько км прошел автомобиль между вторым и третьим часом? Объясни.

c).С какой скоростью шла машина в первые два часа? между вторым и третьим часом? между третьим и пятым часом?

KУпражнение 11. Перед тобой график, описывающий функцию, которая числу часов движения автобуса ставит в соответветствие длину пройденного им пути в км (Рис. Длина пути в км , Время в часах ). Прочти из графика.

a).Сколько км проехал автобус за первый час? за три первых часа?

b).За сколько часов проехал автобус 200 км?

c).Какова скорость автобуса?

d). Дополни : 11/2 ___ , 2 ___, ___ 40 , ___ 240 .

_Обрати внимание. Когда едут с постоянной средней скоростью, график, описывающий функцию, которая числу часов ставит в соответствие длину пройденного пути, есть прямая линия.

JУпражнение 12. Группа туристов a шла со скоростью 2 км/ч.

a).Заполни таблицу.

Время в часах

1

3

31/2

 

 

Длина пути в км

 

 

 

10

11

b).Один из графиков описывает функцию, которая времени движения в часах

туристов из группы a ставит в соответветствие пройденный ею путь. (Рис. i, ii. Длина пути в км , Время в часах ). Какой это график?

 

 

c).Другой график описывает функцию группы b. Найди, с какой скоростью шли туристы из группы b ?

d). Заполни : Две группы прошли одинаковое расстояние, у группы ___ это заняло в ___ раза больше времени, чем у группы ___ .

Стр. 35 - 37

KУпражнение 13. Ученики вышли на прогулку вдоль дороги. Перед тобой график, описывающий функцию, которая числу часов, прошедших с момента старта, ставит в соответветствие расстояние в км от точки старта. (Рис. Расстояние в км , ресторан, точка обзора, точка выхода; Время в часах ).

a).Сколько часов они шли до обзорной точки? Сколько прошли они км до обзорной точки? b).В каких местах ученики отдыхали? Сколько времени они отдыхали в каждом из этих мест? c).Заполни таблицу(воспользуйся графиком).

Время в часах

1/2

1

2

 

31/2

4

51/2

 

Длина пути в км

1

 

 

4

 

 

 

8

d).Заполни: точка (3, 4) принадлежит графику функции. Смысл этого в том, что по прошествии ___ часов расстояние от точки старта было 4 км.

e). Заполни: точка (5, ) принадлежит графику функции. Смысл этого в том, что по прошествии ___ часов расстояние от точки старта было ___ км.

f).Принадлежит ли точка (6, 4) графику функции? Объясни.

g).Рассмотри отрезок графика от обзорной точки до ресторана и ответь, сколько часов они шли? Сколько км прошли? С какой скоростью они шли?

LУпражнение 14. Дани шел со скоростью 4 км/ч. Ури шел со скоростью 6 км/ч. Определим функцию соответствия между временем в часах и длиной пройденного каждым пути в км.

a).Какой из графиков описывает движение Дани, а какой - движение Ури? Объясни. (Рис. i, ii. Длина пути в км , Время в часах ).

b).Какому из графиков принадлежит точка (21/2, 10)?

Qc).Через сколько часов расстояние между Дани и Ури будет 5 км?

LУпражнение 15. a)Четыре человека ехали каждый на своем транспортном средстве в течение 3 часов. Первый ехал со скоростью 80 км/ч. Какой путь он преодолел? Второй проехал 270 км. С какой скоростью он ехал?

Третий ехал на велосипеде и прошел 75 км. С какой скоростью он ехал?

Четвертый ехал на мотоцикле со скоростью 35 км/ч. Какой путь он преодолел?

b).Пятый человек ехал на грузовике со скоростью 60 км/ч и проехал 300 км. Сколько часов он ехал?

Функция в виде выражения

JУпражнение 1. Моше строит башню из кубиков. Сначала он укладывает черный кубик, на него белый, затем черный, белый, черный и т.д. Моше всегда вершит башню черным кубиком.

a).Моше положил 4 белых кубика. Сколько черных кубиков в башне?

b). Моше положил 17 черных кубиков. Сколько белых кубиков в башне?

c). Определим функцию : каждому числу белых кубиков в башне поставим в соответствие некоторое число черных кубиков. Сколько черных кубиков в башне, в которой находится x белых кубиков? Дополни : x ___.

d). Найди, сколько черных кубиков в башне, если использовали 50 белых кубиков? Дополни : 50 ___. Аналогично дополни : 65 ___ , 32 ___ .

e). Скольким белым кубикам соответстствуют 80 черным кубиков?

Дополни : ___ 80 , ___ 100 .

f ). Дани сказал, мы нашли число белых кубиков, которым соответствуют 100 черным кубиков. Если умножим это число на 2, получим число белых кубиков, которым соответствут 200 черных кубиков. Он прав?

_Мы определили здесь функцию одного множества, называемого областью определения функции нашем примере - число белых кубиков), которое есть второе множество(число черных кубиков). Каждый элемент первого множества

(области опеределения) именуется источником(прообразом). Элемент, второго множества, соответствующий источнику, называется его изображением

 

 

(отображением). Если 50 51, то мы говорим, что источнику 50 соответствует отображение 51.

Стр. 38 - 40

>Упражнение 2. a).Сколько граней у одного кубика? у 8 кубиков? у 10 кубиков?

b).Построили башню из 3 кубиков(Рис.). В этой башне можно раскрасить(ничего не двигая) 13 граней, проверь. Сколько граней ты сможешь покрасить у башни из 2 кубиков? из 4 кубиков? из 5 кубиков?

Определим функцию : каждому числу кубиков в башне(источник) поставим в соответствие число граней, которые можно раскрасить(его отображение).

c).Дополни:

Число кубиков(источник области определения)

Число закрашиваемых граней (отображение)

2

42 + 1 = ___

3

43 + 1 = ___

4

44 + __ = ___

5

4__ + __ = ___

7

_ + _ = ____

d).Какое из следущих выражений даст число закрашиваемых граней в башне, сложенной из 15 кубиков? 415 + 2, 615, 4 + 115, 415 + 2.

e).Сколько закрашиваемых гране в башне из x кубиков? Заполни: x _____.

f ).Подставь в (полученное) выражение и найди : 100 _____, 22 _____.

g).Сколько кубиков в башне, если закрасили в ней 81 грань? Заполни ___ 81.

KУпражнение 3. a).Построили поезд из кубиков(Рис.). Сколько граней в нем можно закрасить без перемещения кубиков?

b).- Построили поезд из 2 кубиков. Сколько граней в нем можно закрасить?

- Построили поезд из 5 кубиков. Сколько граней в нем можно закрасить?

- Построили поезд из 6 кубиков. Сколько граней в нем можно закрасить?

Определим функцию, которая ставит в соответствие числу кубиков в поезде число граней, которые можно в нем раскрасить.

c).Заполни:

Число кубиков(источник области определения)

Число закрашиваемых граней (отображение)

2

___

3

___

4

14

___

17

6

_ ____

d).Обведи кружком выражение, соответствующее нашей функции.

x 5x, x 3x + 1, x 2x + 3, x 3x + 2.

e). Подставь в это выражени и найди, сколько граней можно закрасить в поезде из 18 кубиков?

f).Заполни : 100 ___, 22 ___.

g).Сколько кубиков в поезде, в котором раскрашены 23 грани?

_Мы видели, что можно описать функцию и с помощью алгебраического выражения. Алгебраическое выражение облегчает нам нахождение отображения заданного источника.

LУпражнение 4. Определим функцию, которая ставит в соответствие числу куриц число ног у них(Рис.).

a).Заполни.

Число куриц

1

2

3

5

 

17

Число ног

 

 

 

 

18

 

b).Запиши функцию с помощью выражения. У x куриц ___ ног. Т.е. х ___.

c).Вычисли: -сколько ног у 30 куриц? какого числа куриц есть всего 50 ног?

d).Какие из следующих высказываний истинные? -Когда число куриц возрастает

в 2 раза, число ног у них возрастает в 4 раза. -Когда число куриц возрастает

 

 

на 2 , число ног у них увеличивается на 4 . -Отображение любого источника всегда число четное. -Число 7 может быть в множестве источников(области определения функции). -Число 15 может быть в множестве отображений функции.

Стр. 41 - 43

LУпражнение 5. Чтобы развернуть забор из сетки, по периметру забора забили стойки через 1 м(см. Рис.).Определим функцию, которая ставит в соответствие числу стоек(источник из области определения) длину забора в метрах(его отображение).

a).Заполни.

Число стоек

2

3

4

10

 

х

Длина забора в метрах

1

 

 

 

21

 

b).Какова длина забора, если использовали 80 стоек? Т.е. 80 ___.

c).Сколько использовали стоек, если длина забора 100 м? Т.е. ___ 100.

d).Какие из следующих высказываний истинные? Аргументируй.

-Число стоек(источник) всегда четное

-Когда число стоек возрастает на 1 , длина забора увеличивается на 1 .

-Необходимое число стоек для забора длиной 100 метров вдвое больше числа стоек , необходимых для забора длиной 50 метров.

x Загадка Сколько стоек нужно для забора длиной 320 метров, если расстояние между стойками равно 40 м.

x Загадка Настенные часы издавали 6 звонков в течение 15 секунд. Сколько времени они будут издавать 12 звонков?

LУпражнение 6. Определим функцию, которая ставит в соответствие любому числу часов - число минут в этих часах. Например, в 1 часе 60 минут, т.е. 1 60.

a).Заполни.

Число часов(источник в области определения)

Число минут(отображение)

3

_____

41/2

_____

1/4

_____

___

120

___

30

b).Запиши функцию с помощью выражения. В х часах есть __ минут. Те. х __.

c).Подставь в это выражение и напиши соответствующие отображения.

1/3 ___, 5 ___, 11/2 ___, 2 ___ .

d).Скольким часам соответствуют 240 минут. Заполни: ___ 240.

e).Дополни соответствующими источниками:. ___ 30, ___ 180, ___ 210.

f ).Какие из следующих высказываний истинные?

-Если число часов увеличить в 2 раза, число минут увеличится в 60 раз.

-Если число часов увеличить на 1 , число минут увеличится на 60 .

-Если число часов увеличить в 2 раза, число минут увеличится в 2 раза.

 

От источника к отображению с помощью выражения

JУпражнение 1. Перед тобой график функции, которая времени в часах(источник) ставит в соответствие количество воды в бассейне в м.куб.(отображение).

(Рис. Количество воды в м.куб. , Время в часах ).

a).Бассейн заполняется или опорожняется?

b). Каково количество воды сначала? А через 1 час? И через 2 часа?

c). Заполни : Время в часах Количество воды в м.куб.

0 400

1 ___

2 ___

3 ___

31/2 ___

___ 200

___ 100

d). Сколько воды вытекло в первый час? В 2 первых часа? В 3 первых часа?

 

 

e). И без графика мы можем находить отображение так:

1 400 - 501

2 400 - 502

Дополни: 3 400 - 50__

Дополни: 5 400 - 50__

f ). Запиши закон функции в виде выражения : х ______.

g). Воспользуйся выражением и дополни: 7 ______, 11/2 ___. Проверь свои ответы по графику.

h). Дополни: ___ 0, ___ 150, ___ 350.

Стр. 44 - 47

KУпражнение 2. Дана функция определенная с помощью алгебраического выражения : (источник)х 5х + 2(отображение) .

a).Заполни. Примеры: 4 54+2=22, -5 5(-5)+2=-23. -1 ___, 17 ___, 7 ___, 1/5 ___, -3 ___, 9 ___, 0 ___, -1/5 ___, 1/2 ___.

Qb).Отображение есть 0. Какой источник соответствует ему?

yJУпражнение 3. a).Длина стороны квадрата 5 см. Какова площадь квадрата?

Длина стороны квадрата 8 см. Какова площадь квадрата?

Длина стороны квадрата 6.5 см. Какова площадь квадрата?

b). Перед тобой график функции, которая длине стороны квадрата в см ставит в соответствие его площадь в кв. см. (Рис. Площадь в см.кв. , Сторона в см ).

Заполни : Сторона квадрата Площадь квадрата

1 ___

2 ___

31/2 ___

4 ___

5 ___

___ 9

___ 100

c). Какова площадь квадрата со стороной х? Заполни х ___.

d). Дополни соответствующие отображения: 28 ___, 81/2 ___, 31/2 ___ .

e). Находится ли точка (6, 36) на графике функции? Объясни.

Находится ли точка (2.5, 36) на графике функции? Объясни.

f ). Правда или ложь? Аргументируй. Если сторона квадрата увеличилась в 2 раза, то и площадь квадрата увеличилась в 2 раза.

x Загадка Чья площадь больше: 1/2 квадрата со стороной 1 метр или квадрата со стороной 1/2 метра.

JУпражнение 4. Начни с числа, записанного в окружности как источник. Вычисли его отображение согласно функции, записанной в виде выражения над стрелкой, и запиши его во вторую окружность. И так далее.

3 x+2 ___ 2x ___ 20/x ___ x2 ____

-4 3x ___ x+14 ___ x3 ___ x/2 ____

1/2 10x ___ x2-10 ___ 15/x ___ 4x ____

D

Если решал верно, то получишь одно и то же число во всех трех треугольниках.

JУпражнение 5. Дана функция, определенная с помощью алгебраического выражения: x 5 + x2.

a).Заполни: 5 ___, 3 ___, 1 ___, 10 ___, -3 ___, 0 ___, -5 ___, -1 ___ , 4 ___.

b).Заполни: ___ ___

___ 9 ___ 21

c).Напиши три источника, отображения которых есть четные числа.

d).Напиши три источника, отображения которых есть нечетные числа.

e).Существует ли источник отображения 0? Если да, каков он? Если нет - объясни.

f ).Существует ли источник отображения 1? Если да, каков он? Если нет - объясни.

 

 

g).Каково наименьшее отображение, которое получается у нашей функции.

KУпражнение 6. В каждом из примеров дана функция и три числа в качестве источников. Обведи кружком источник с самым большим отображением.

a). x 4x, 1, 0, -2. b). x -4x, 1, 0, -2. c). x 4 + x, 1, 0, -2.

d). x 4 - x, 1, 0, -2. e). x 4 + x2, 1, 0, -2. f). x x/4, 1, 0, -2.

g). x -x/4, 1, 0, -2. h). x -x2, 1, 0, -2.

JУпражнение 7. Поставь в соответствие каждой таблице закон функции из числа записанных ниже и дополни таблицы: x x3; x 2x - x2; x x2; x x(2x - 1).

a)Источ

Отображ

b)Источ

Отображ

c)Источ

Отображ

d)Источ

Отображ

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

2

6

2

8

2

4

2

0

-1

3

-1

-1

-1

1

-1

-3

3

__

3

__

3

__

3

__

-2

__

-2

__

-2

__

-2

__

Закон:

_______

Закон:

_______

Закон:

_______

Закон:

_______

 

 

 

 

 

 

 

 

Стр. 48 - 50

JУпражнение 8. Дана функция x 2/x.

a).Что ты можешь сказать об отображениях положительных чисел?

b). Что ты можешь сказать об отображениях отрицательных чисел?

c). 0 может быть источником этой функции? Аргументируй.

_Мы увидели, что существуют функции, у которых множество источников(область определения функции) не включает всех чисел. Например: область определения функции x 6/x не включает числа 0, т.к. подстановка 0 в формулу функции дает лишенное смысла выражение.

QУпражнение 9. Даны две функции x 2/x, x 2x. Найди источники, отображения которых согласно обеих функций равны.

Тайм-аут. В какой из следующих функций отображение любого целого числа есть целое число : x 2x/6, x 4x2/5, x (4x + 8)/2, x 2/x.

LУпражнение 10. Соедини алгебраическое выражение функции с соответствующей таблицей.

Источн

Отображ

Источн

Отображ

Источ

Отображ

Источ

Отображ

6

11

-10

-5

6

11

0

1

0

5

0

0

0

-1

2

5

-10

-5

5

21/2

-6

-13

-1

2

-2

7

2

1

2

3

3

10

a) x 1/2x b) x 2x c) x x + 5 d) x x2 + 1

 

LУпражнение 11. Дана функция x x + 5.

a).Заполни -1 ___, 3 ___, 8 ___, 5 ___, 1/3 ___, 0 ___.

b).Напиши три источника, отображения которых - положительные.

c).Напиши три источника с отрицательными отображениями, но не из а).

d).Утверждение: если х больше 5, то отображение - положительное. Это утверждение верно? Аргументируй.

LУпражнение 12. Дана функция x x2 + 2.

a).Если 2 6, напиши ,מ иначе напиши ל : ___

b).Если -1 1, напиши ,א иначе напиши ק : ___

c).Если 0 3, напиши פ, иначе напиши ו : ___

d).Если 3 11, напиши ,ר иначе напиши ו: ___

e).Если -3 11, напиши ,ת иначе напиши נ : ___

f).Если 1 4, напиши ,ק иначе напиши מ : ___

g).Если -2 0, напиши ,צ иначе напиши ו : ___

h).Если отображение 25 больше 60, напиши ,נ иначе напиши י: ___

i).Если отображение 9 - число четное, напиши ,ח иначе напиши ה: ___

 

 

Прочти буквы в клеточках сверху вниз. Что получилось?

Стр. 51 -54

LУпражнение 13. a).Найди закон функции для следующих пар.

20 21, 5 6, 1 2, 41/2 51/2, 12 13, 3 4.

b).Запполни согласно полученной функции.

100 ___, 88 ___, -1 ___, 3 ___, ___ -3, ___ -1, ___ -100, ___ 10.

LУпражнение 14. Помоги крольчихе добраться до морковки! Пройди только через клетки, содержащие функцию, у которой отображение источника -1 есть положительное число.

крольчиха

 

 

 

х -2х

х 1х

х х2 + х

х 1/х

х 1 - х

х х2

х 2 + х

х

х 1 - х2

х 1 + х

х 4(х + 1)

х х2/2

х 1 + х2

х 1/2х

морковка

х 2х + 1

х х(3 + х)

х 3х + 2

х 4/х

х

 

От отображения к источнику с помощью выражения

JУпражнение 1. a).Будем строить из спичек непрерывные последовательности шестиугольников(Рис.) Сколько спичек мы использовали всякий раз?

b).На столе одна спичка. Сколько спичек мы добавим, чтобы создать один шестиугольник? чтобы построить два шестиугольника с общей стороной? чтобы создать непрерывную последовательность из трех шестиугольников?

c).Заполни таблицу.

Число шестиугольников Число спичек

1 1 + 51 = __

2 1 + 52 = __

3 1 + 5_ = __

4 _ + __ = __

5 __________

х 1 + _х

d).Сколько спичек необходимо для построения последовательности из 15 шестиугольников? из 50 шестиугольников?

e).Сколько шестиугольников можно построить из 101 спички? Заполни: __ 101.

f).Сколько шестиугольников можно построить из 216 спичек? Заполни: __ 216.

JУпражнение 2. a).Дана функция х х + 5. Заполни:

-1 __, 1 __, 0 __, __ -1, __ 1, __ 0.

b).Дана функция х х - 5. Заполни:

-1 __, 1 __, 0 __, __ -1, __ 1, __ 0.

c).Дана функция х 2х - 1. Заполни:

-1 __, 1 __, 0 __, __ -9, __ 9, __ 0.

KУпражнение 3. В каждом из вопросов дана функция и одно отображение. Найди источник отображения.

Пример. Функция: х 3х + 2(х-1), отображение 28. Запишем уравнение 3х + 2(х-1) = 28. Решим уравнение: х = 6. Источник, отображение которого 28, есть 6.

a).Функция х х + 6, отображение 20. b).Функция х х - 15, отображение -4.

c).Функция х 2х + 9, отображение 21. d).Функция х 2х + 3, отображение 1.

e).Функция х 3(х + 5), отображение 0. f).Функция х 4(х + 3) - 12, отображение 8.

g).Функция х 5х + 3(2 - х), отображение 20.

h).Функция х 2(5 - х) + 3х + 2, отображение 15.

>Упражнение 4. Строку черных квадратов заключили в рамку белых квадратов(см. Рис.).

a).Какие из следующих высказываний - истинные?

-Число белых квадратов (в рамке) больше числа черных квадратов(в строке).

-Число белых квадратов (в рамке) в 2 раза больше числа черных квадратов.

-Число белых квадратов (в рамке) в 6 раз больше числа черных квадратов.

-Если в строку добавляется черный квадрат, необходимо добавить в рамку 2

 

белых квадрата.

b).Сколько белых квадратов находится в рамке, охватывающей:

1 черный квадрат? 2 черных квадрата? 3 черных квадрата? 4 черных квадрата?

c).Определим функцию, которая ставит в соответствие любому числу черных квадратов в строке число охватывающих их белых квадратов.

Дополни: Черных квадратов(источник) Белых квадратов(отображение)

1 ___

2 ___

3 ___

4 ___

5 ___

d).У тебя в строке 27 черных квадратов.

-Сколько белых квадратов находится над и под 27 черными квадратами(без тех, что по сторонам).

-Сколько белых квадратов находится с двух сторон(от строки).

-Какое из следующих выражений дает число белых квадратов:

227 + 3, 27 + 6, 27 + 23, 227 + 6.

e).Обведи функцию, которая ставит в соответствие числу черных квадратов х соответствующее число белых квадратов. х 9х, х 8х, х 2х + 6, х 6х + 2.

f).С помощью отмеченного выражения дополни: 37 ___, 85 ___, 25 ___ .

g).Скольким черным квадратам соответствует 80 белых квадратов?

помощью выбранного тобой выражения напиши соответствующее уравнение.

-Реши уравнение и дополни: ___ 80.

h).Найди таким же образом: ___ 100.

Стр. 55 - 56

JУпражнение 5. Заполни прямоугольник соответствующим источником.

a). 2 + x b). 2 - x c). 1/2x

__ 0 __ 0 __ 1

d). 2x + 1 e). -2x f). -6/x

__ 1 __ -2 __ -2

Š D ˆ D Š D

KУпражнение 6. Из следующих законов выбери закон, соответствующий таблице, и дополни ее: x 3x - 1, x 4x - 2, x x2 + 1, x x2 + x.

х

________

1

2

2

5

-1

2

3

10

0

____

4

____

-2

_

JУпражнение 7. a).Дана функция x -x.

-Каково множество всех источников, отображение которых - положительное число?

-Каково множество всех источников, отображение которых - отрицательное число?

-Найди источник, равный его отображению.

b).Дана функция x x2.

-Каково множество всех источников, отображение которых - положительное число?

-Найди источник, равный его отображению. Сколько таких источников ты можешь найти? Каковы они?

c).Дана функция x 1/x.

-Каково множество всех источников, отображение которых - положительное число?

-0(ноль) может быть источником этой функции? Аргументируй.

-Найди источник, равный его отображению. Сколько таких источников ты можешь найти? Каковы они?

Стр. 57 - 58

JУпражнение 8. Найди с помощью подстановки отображения каждой функции.

a).Функция х 3(х - 1) : 0 __, -1 __, 5 __, 1 __.

 

b).Функция х 10 - х : 15 __, -2 __, 3 __, 1 __.

c).Функция х 2(х + 3) - 8 : -5 __, 0 __, -1 __, 5 __.

d).Функция х -8/х : -4 __, 8 __, -1 __, 2 __.

yJУпражнение 9. Дополни таблицы.

a). x

5/x

a). x

5x

a). x

5+x

1

___

1

___

3

___

10

___

-1

___

-1

___

-5

___

0

___

0

___

2

___

1/5

___

11/2

___

2.5

___

0.8

___

0.8

___

___

1

___

20

___

6

____ -----__

-5__

-----

-10___

-----

0__

JУпражнение 10. В каждом вопросе дана функция и одно отображение. Найди источник, соответствующий этому отображению.

a).Функция х х + 3 , отображение 21.

b).Функция х 2х -5 , отображение 17.

c).Функция х 3(х + 1) , отображение 45.

d).Функция х 10 - х , отображение 12.

e).Функция х 8 - х , отображение -6.

JУпражнение 11. Цепочки функций. Заполни окружности соответствующими источниками так, чтобы в конце цепочки получилось указанное отображение.

a). ___ х+ 8 ___ х/3 ___ ___ х+1 5

b). ___ ___ х+5 ___ ___ х-1 2

c). ___ 5-х ___ 8/х ___ х/2 ___ х-2 -1

O O O O D

Стр. 59 - 61

Функции и проценты

_Процентами пользуются, чтобы описать части целого. 1% это иное название 1/100. Отсюда: 25% это 25/100 или ј. 20% это 20/100, т.е. 1/5.

JУпражнение 1. В классе 40 учеников. a).50% учеников состоят в спортивном кружке. Сколько учеников состоят в спортивном кружке? b).20% учеников состоят в драматическом кружке. Сколько учеников состоят в драматическом кружке? c).10% учеников избраны в классный комитет. Сколько учеников избраны в