Make your own free website on Tripod.com

                                             פרקי  מתמטיקה. פונקציות

                                          חובר  על  ידי  ציפורה  רזניק

                                            ГЛАВЫ  МАТЕМАТИКИ. ФУНКЦИИ

Составитель  Ципора Резник - на основании предшествующего сборника

Рохамы Эвен и Баруха Шварца.

Подстрочный перевод с иврита по изданию 1991 года выполнил Л.Коваль:"Работа была начата для собственной языковой профессиональной практики по несложному математическому тексту. В дальнейшем я сообразил,что этот перевод может быть полезен для начинающих в иврите,как с точки зрения математики, так и языка. Я не думаю,что этим переводом будет до конца пользоваться подросток, уже погрузившийся в ивритскую среду. Но - сначала, а  также для учеников еврейских школ на прежней родине, для начинающих здесь учителей и репетиторов и, наконец, для родителей,желающих подсобить своему чаду на пороге "тихона",этот подстрочник, который можно использовать только вместе с книжкой на иврите,-должен помочь. В переводе можно заметить и буквализмы и смысловую передачу. Мне казалось,что для одновременного изучения иврита и предмета   полезнее  некоторая формальная точность. В  частности,  сохранено  не вполне нормативное употребление двоеточия и др. В тексте, конечно, есть много ошибок как набора,так и перевода. Будем исправлять!             L.Koval,Hatomer,3,Maalot"

Примечание. Ивритская буквенно-численная нумерация заменена русской(алеф(1) - а, бет(2) - б, ... ). Пояснения "совы" и некоторые подписи помечаются группой знаков /////

 

Стр.6-7-8

УЧАЩЕМУСЯ...

Перед тобой книга,посвященная понятию функции - одному из основополагающих в математике и других науках. Материал,включенный в нее,есть база для продолжения обучения по теме функции в старших классах,и она написана так,чтобы ее можно было изучать самостоятельно(с руководством).  В каждой главе имеется некоторое число параграфов,поделенных на подпараграфы. После каждого параграфа даются упражнения соответственно подпараграфам,и это дает возможность упражняться и применять изученный материал (имеются ответы на часть упражнений).  Значительное число упражнений в каждом разделе позволяет делать соответствующий выбор.  Иногда обилие новых понятий может вызвать чу-вство надостаточного овладения материалом.  Важно продолжать и продвигаться! В продолжение учебы имеются удобные дополнительные поводы поупражняться с пройденным материалом и освоить его.

Страницы "Для твоего удовольствия" и "Исследуй и открой" делают возможным повторение и углубление в материал определенных разделов.Следует обращаться к их помощи не только во время изучения этих параграфов,но также и в последую-щем.Мы надеемся ,что ты получишь удовольствие от работы с этой книжкой.

 

ГЛАВА 1 : РАЗЛИЧНЫЕ СПОСОБЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИИ

ЧТО ТАКОЕ ФУНКЦИЯ?

С о о т в е т с т в и я   и   их   о б о з н а ч е н и я

1.Предположим у тебя есть гибкий металлический провод длиной 60 см. и тебе надлежит смонтировать из всего этого провода каркас прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием(см. рисунок).  Предположим ты решил,что длина стороны квадрата основания параллелепипеда будет 3 см.   а)Какой будет высота [параллелепипеда],соответствующая этой длине?   б)Каков будет соответствующий объем?

///// Ты забыл как вычисляется объем параллелепипеда? Умножь площадь /////основания на высоту.

2.Даниель собрал каркас прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием из металлического провода длиной 60 см. таким образом,что длина стороны основания

равнялась 6 см.   а)Каковы длина,ширина и высота параллелепипеда?   б)Каков его объем?

 

В нижеследующих упражнениях обсуждаются прямоугольные параллелепипеды с квадратным основанием,каркас которых изготовлен из металлического провода длиной 60 см.  Когда мы пишем "прямоугольный параллелепипед", -имеется ввиду именно такой параллелепипед.

3.Поставь в соответствие,если можно,высоту и объем для каждой длины

  | x-длина стороны | высота параллелепипеда | y-объем параллелепи- |

  | квадрата(в см.)   |                       (в см.)       |        педа (в см.куб.)   |

-Какую наибольшую длину x можно получить?

 

Стр.9-10-11-12

4.Перед тобой система координатных осей          ^ объем(в см.куб.) > длина  стороны основания(в см.)    a)Нарисуй график,описывающий объем параллелепипеда в зависимости от длины стороны основания(воспользуйся таблицей из вопроса 3).   б)Есть ли смысл соединить точки в линию?   в)Вычисли объем параллелепипеда с длиной стороны основания 2.5 см.  -Разве ооответствую-щая точка находится на графике?

5.Перед тобой график,который мы просили начертить в вопросе 4.Обрати внимание! Самая высокая точка на графике получена для x=5.

а)Отметь какую-либо точку на графике и запиши,что она обозначает. б)Отметь на графике две точки,описывающие два разных параллелепипеда,объем которых равен 100 см.куб.   -Что ты можешь сказать о форме этих параллелепипедов? )Можно ли отметить на графике две точки,описывающие два различных параллелепипеда,у которых сторона основания одного равна стороне основания другого?

6.Отметь-верно или неверно(воспользуйся таблицей и графиком). а)Объем параллелепипеда зависит от длины,которая отрезана для стороны основания.   б)Наибольший по объему параллелепипед есть куб. в)С увеличением стороны основания растет объем.   г)Объем параллелепипеда со стороной основания 6 см. равен объему параллелепипеда со стороной основания 4 см.   д)Можно построить два различных параллелепипеда,объем каждого из которых равен 80 см.куб.    е)Если длина стороны основания равна 3.5 см.,объем такого параллелепипеда находится между 81 см.куб. и 112 см.куб.

В предыдущих упражнениях мы находили соответствие между двумя нижеследу-ющими множествами чисел:  A = { x | 0 < x < 7.5 }  B = { y | 0 < y <=125 }   Каждое число в A  представляет длину стороны основания параллелепипеда. Каждое число в В представляет объем параллелепипеда. Соответствия обозначаются  прописными (маленькими) латинскими буквами:f,g,h и тому подобное.

Обозначение: Обозначим ,например,наше соответствие A и B как f. Вместо того, чтобы сказать:когда длина стороны основания параллелепипеда равна 3 см., объем,соответствующий этой длине,равен 81 см.куб. записываем: f : 3 -> 81 (иными словами: f,соответствующий 3-м,равен 81) или : f(3)=81 (иными словами f от 3-х равно 81).

7.Заполни в соответствии таблицей или графиком ... Указание:В е) ты не обязан быть точным. Воспользуйся графиком,который ты построил.

8.Запиши в обозначениях соответствий(двумя способами):Длина стороны основания параллелепипеда 6.5 см. Объем,соответствующий этой длине,равен 84.5 см.куб.

П о н я т и я   с о о т в е т с т в и й

В предыдущих упражнениях мы проводили соответствие между длиной стороны основания параллелепипипеда(который был собран из провода длиной 60 см.)и его объемом. В повседневной жизни,в математике и различных областях науки проводятся многочисленные соответствия.

Примеры: -Соответствие между возрастом младенца и его весом. -Соответствие между количеством овощей,доставленных на рынок,и их ценой. -Соответствие  между высотой местности и количеством осадков.  Обслуживаются эти соответс- твия математическими средствами. Цель этой книги-раскрыть часть математи-  ческих средств,которые требуются для обслуживания соответствий.

Определение: Соответствие между двумя множествами A и B требует : каждому элементу в A соответствеует элемент(по крайней мере один) в B. Множество A именуется областью определения соответствия.Элемент области A именуется источником [прообразом]. Элемент,соответствующий ему в B,именуется отображе-нием [образом]. Совокупность всех отображений называется множеством отображений.

9.а)Сформулируй требования к соответствиям посредством новых понятий (область [определения],источник,отображение,множество отображений). б)Возможно ли,согласно требованиям соответствий,наличие у одного источника двух различных отображений? в)Возможно ли,согласно требованиям соответствий,наличие у одного отображения двух различных источников?

 

Стр.13-14-15-16

Иногда,когда область[определения,существования] есть конечное множество удобно описывать соответствия с помощью диаграмм.

10.Каково отображение a в каждом из нижеследующих соответствий?

а,б,в,г)область [существования]

-каково множество отображений каждого из соответствий?

///// f : источник -> отображение   f(источник)=отображение

///// Обрати внимание! Имеются две возможности обозначений.

11. а)В соответствии,которое мы обозначили f, между длиной стороны основания и объемом параллелепипеда  -область определения ... -множество отображений ...  -в этом соответствии f : 3 -> 81 ,т.е. источнику __ соответствует  отображение ___ .б)Сколько есть отображений у каждого источника в соответствии f ? в)Сколько источников есть у каждого отображения в этом соответствии?

12. p  есть соответствие между числом,представляющим длину стороны  квадрата,    и периметром квадрата. а)Заполни:     Пример: p(3)=12  ...  б)Источник равен 20. Найди соответствующее отображение.  в)Отображение равно 20. Найди соответствующий источник. г)Какова область определения p? д)Сколько отображений есть у каждого источника в соответствии p? е)Сколько источников есть у каждого отображения в этом соответствии?

13.Дано соответствие m для каждого натурального числа его произведению с последующим числом. Пример : m(7)=56    а)Заполни : ...   б)Источник равен 6. Найди соответствующее отображение.  в)Отображение равно 6. Найди соответ-ствующий источник.  г)Какова область существования соответствия?  д)Возможно ли записать множество отображений?

Во многих случаях трудно найти множество отображений соответствия, но достато-чно знать множество,включающее вышеупомянутое множество отображений. Поэтому:       Определение: В соответствии множества A множеству B : A есть область [определения], а B содержит множество отображений(не требуется ,чтобы каждый элемент B был отображением). Множество B именуется областью значений соответствия.    Обрати внимание! И множество отображений само по себе может служить областью значений соответствия.

Каждое соответствие в математике обладает свойством:  I.Каждому элементу в области [определения] соответствует элемент в области значений соответствия. Соответствия,которыми мы занимались (f,p и m),обладают дополнительным свойством: II.Каждому источнику соответствует единственное отображение.

Соответствие между множеством A и множеством B ,которое обладает в дополнение к свойству I также свойством II именуется функцией.

14.а)Какое соответствие из вопроса 10(стр.13) не описывается функцией? Почему?  б)Обрати [переверни] направления стрелок на диаграммах. Множество области определения станет теперь множеством отображения, и наоборот.  -Какая из новых диаграмм описывает соответствие в математике?  -Какое из этих соответствий описывает функцию?

Функция есть триединство, включающее два множества(область определения и область значений функции) и правило соответствия;она обладает двумя свойствами: -Для каждого источника существует отображение в области значений(свойство это выполняется для каждого соответствия,даже если это не функция). -Отображение каждого источника - единственное.(Это свойство существует только для оответствия,которое является функцией).

В продолжение учебы мы будем заниматься, в основном, соответствиями,      которые являются функциями. Мы будем заниматься функцией,с одной стороны,как "математическим созданием",а ,с другой стороны, как инструментом для понимания явлений и процессов. В этой главе мы раскроем язык понятий,связанных с функциями, и поупражняемся в нем,чтобы иметь впредь возможность пользоваться им в соответствующей форме.

 

 

Стр.17-18-19-20

УПРАЖНЕНИЯ

С о т в е т с т в и я   и   и х   о б о з н а ч е н и я

1.Перед тобой таблица,описывющая отображение длины стороны квадратного основания параллелепипеда(который собран из провода длиной 60 см.) в высоту параллелепипеда(см.упражнение 3,стр.8). Обозначим это соответствие буквой g.

x-длина стороны основания (в см.)  |

высота параллелепипеда(в см.)      |

a)Заполни:   Пример: g(1)=13 ,т.е. g от 1-ы равняется 13-и. И смысл этого - стороне основания длиной в 1 см. соответствует высота 13 см. б)Длина стороны основания параллелепипеда равна 5 см. Какова высота,соответствующая этой длине? Запиши эту информацию на математическом языке.  в)Отметь верные утверждения:              -Высота параллелепипеда зависит от длины стороны основания. -С удлинением стороны основания растет также высота параллелепипеда. -Среди всех параллелепипедов,которые можно собрать,есть также куб. -Когда длина стороны основания увеличивается вдвое,высота уменьшается вдвое.  -С увеличением длины стороны основания на 1 см. высота уменьшается на 2 см.

2.Группа детей вышла на пешеходную прогулку. Они прошли 12 км в течение 3 часов,отдохнули час и вернулись по домам (расстояние 12 км.) за 6 часов. Мы полагаем,что на различных отрезках пути скорость движения была постоянной. s есть соответствие каждого прошедшего часа числу километров,которые прошагали дети к этому времени.  Заполни:...

3. f  есть соответствие каждого числа на числовой оси его расстоянию от нуля. а)Заполни(там,где можно):...   б)Верно или неверно? -Расстояние от нуля зависит от числа.  -С увеличением числа растет его расстояние от нуля.  -Расстояние от нуля представляется с помощью положительного числа.

4. Из металлической проволоки длиной 20 см. собрали прямоугольник. h есть соответствие длине стороны прямоугольника - его площади. а)Длина стороны прямоугольника равна 7 см.,какова его площадь? Запиши эти данные на математическом языке.  б)Заполни:...  в)Приготовь таблицу и начерти график, описывающий площадь прямоугольника в зависимости от длины его стороны. г)Заполни в соответствии с графиком:...  -Наибольшая площадь получается,когда длина стороны ___ см.  -Наибольшая площадь равна ___ см.кв.  -С возрастанием длины стороны от ___ до ___ площадь растет. -С возрастанием длины стороны   от ___ до ___ площадь убывает.

5. g есть соответствие каждого натурального числа больше 1 [количеству] его простых сомножителей.   Пример: ...  Обрати внимание! 1 не является простым сомножителем. Заполни: ...

6. Приведи пример соответствия для каждой из следующих областей: география,экономика,сельское хозяйство,физика,история,биология.                       П о н я т и я   с о о т в е т с т в и й

7. Перед тобой таблица соответствия часов ночного и раннего утреннего времени зимой - температуре.

| Время - область определения  |

| Температура в градусах C       |

Обозначим буквой t соответствие между временем и температурой.Пример:t(1)=5.5, что означает-часу ночи соответствует температура 5.5 град.C. а)Заполни: ...  б)Каково отображение 2-х? 3-х? 5-и?  в)Каков источник у 4.5? у 4-х?   г)Сколько отображений есть у каждого источника в соответствии t?  д)Зависит ли температура от времени?  е)Сможешь ли ты найти при помощи соответствия отображение у 4.5?  у 7? Аргументируй.

8. Перед тобой словесное описание соответствий. Представь их с помощью таблицы

или диаграммы. а)Соответствие чисел 1,-2,10 их квадратам. б)Соответствие дней йом

кипур,ту бишват,пурим-дням еврейского календаря,на которые они выпадают. в)Соответствие многоугольников:треугольника,прямоугольника,квадрата и трапеции - числу их диагоналей.

 

Стр.21-22-23-24

9.Нарисуй стрелки соответствия от области определения к области значений так,чтобы диаграмма описывала:  а)Соответствие,которое есть функция.     б)Соответствие,которое не есть функция.

10. Отметь,какие из нижеследующих соответствий являются функциями (в предпо-ложении,что выбраны соответствующие области определения и отображения).  а)Соответствие между каждым гражданином государства Израиль и годом его рож-дения.  б)Соответствие кошки,у которой есть котята,-ее котятам.  в)Соответствие каждого котенка его матери кошки.  г)Соответствие между любым отрицательным числом и -1(минус единицей).  д)Соответствие между любым целым числом и  противоположным ему по знаку.  е)Соответствие между произвольным целым числом и двумя соседними целыми числами(предыдущим и последующим).  ж)Соответствие каждой точке в системе координатных осей [на плоскости] упорядоченной паре [чисел].  з)Соответствие между числом на числовой оси и расстоянием от него до нуля.  и)Соответствие между любым натуральным числом больше 9 произведению его цифр.  к)Соответствие между любым натуральным числом и цифрами[в его записи].

11. Найди множество отображений следующих функций: а)Функция соответствия каждого целого числа от 1 до 6 его сумме с собственным квадратом.  б)Функция соответствия каждого целого числа от 1 до 6 его произведению со следующим за ним целым числом. в)Функция соответствия каждого натурального числа - числу, следующему за ним.  г)Функция соответствия каждого натурального числа -его произведению на 3.  *Испытай свои силы.  д)Функция соответствия каждого натурального числа от 2 до 100 - числу отличающихся простых множителей(1 - не простой множитель).

12.Дана функция f соответствия каждой точке в системе координатных осей ее отражению относительно оси y(см.чертеж). К примеру:...  а)Какие будут отображения у следующих точек:...  б)Начерти в квадранте III системы координатных осей прямоугольник и затем начерти множество отображений каждой точки его периметра.  в)Начерти в системе координатных осей треугольник с вершинами:...  Каково множество отображений точек,которые принадлежат периметру заданного треугольника. г)Множество точек фигуры и множество их отображений согласно f- равны. Что ты можешь сказать относительно этой фигуры? 13.Дана функция соответствия каждой точке в системе координатных осей ее отражению относительно прямой y=x(см.чертеж). К примеру:...  Начерти в системе координат прямую y=x и ответь с помощью чертежа. а)Каковы отображения нижеследующих точек?...   б)Отображение точки равно ей[точка отражается в саму себя]. Что ты можешь сказать о координатах точки?                                14.Функция f каждой точки в системе координатных осей есть d -ее расстояние от начала координат.  а)Какова область определения функции f?  б)Координаты точки A в системе координатных осей есть (3,4).Найди отображение точки А.  в)Найди источник числа 10.  г)Где находятся все точкм-источники 10-и.  д)Точка B(a,0) находится на оси x. Каково ее отображение?   *Испытай свои силы. е)Перед тобой квадрат в системе координатных осей. Каково множество отображений всех точек на периметре квадрата?

15.Функция f ставит в соответствие каждому многоугольнику число его диагоналей.  а)Чему равно отображение квадрата? пятиугольника? б)Каков источник нуля?

16. Дан треугольник ABC. EF параллельна BC. Отображение h соответствует каждой точке x,находящейся на отрезке EF,-точке пересечения [продолжения] Ax c отрезком BC.К примеру:... а)Заполни:... б)h-это функция? Аргументируй.  в)Сколько источников у каждого отображения f?

17.Перед тобой предложение,которое зашифровано по способу "а-я,б-ю"/"алеф-тав, бет-шин"(вместо "алеф" пишется "тав",вместо "бет"-"шин" и т.д.).  ............  а)Расшифруй это предложение.  б)Запиши область существования и множество отображений[функции шифрования].  в)Если начертим стрелочную диаграмму этой функции и повернем направление стрелок - что получим?

///// Ты учил про:источник,отображение,область существования фун-

///// ции,область значений функции,множество отображений соответ-

///// ствия,функцию,представление табличное,представление словесное

///// и с помощью диаграммы.

 

Стр.25-26-27-28

И з б р а н н ы е   о т в е т ы

1.в)Да,нет...   7.г)Один. д)Для одного из отображений есть два источника,а для остальных - по одному. е)Да.  ж)Нет,но приблизительно-да. 10.а)Да б)Нет ...  1.в){натуральные числа,исключая 1} г){натуральные числа,делящиеся на 3}  12.г)Симметричная относительно оси y. 13.б)Равны.  14.а)Множество всех точек на плоскости. в)К примеру:... г)На окружности с центром в начале координат,радиус которой равен 10 единицам. 16.б)Да. в)Один.  17.а)Шифр "а-я б-ю",в сущности, является функцией соответствия каждой букве алфавита - другой буквы. в)Та же

функция.

 

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ АЛГЕБРАИЧЕСКИМ СПОСОБОМ

П р е д с т а в л е н и е   с   п о м о щ ь ю   а л г е б р а и ч е с к о г о  

в ы р а ж е н и я

До сих пор мы видели различные представления функции:словесное, табличное, графическое и диаграммное. Когда область определения и область значений есть числовые множества и правило соответствия можно записать посредством выражения,мы можем представлять функцию на языке алгебры. Вернемся к примеру из начала главы.

1.Из металлического провода длиной 60 см. собрали каркас прямоугольного параллелепипеда,в основании которого - квадрат. x означает длину стороны этого квадрата.  а)Представь высоту этого параллелепипеда посредством алгебраического выражения.  б)Упрости это выражение. в)Представь объем параллелепипеда посредством алгебраического выражения.

g есть функция соответствия длины стороны квадрата,принимающей целые значения, - высоте параллелепипеда.   Область существования g:...   Область значений g:{действительные числа}  Правило соответствия:... или:...   Вычислим высоту параллелепипеда для x=3 ...

Форма записи g(x) (произносится:g от x) подчеркивает тот факт,что высота параллелепипеда зависит от длины стороны основания-x и изменяется соответственно ей. Коротко ты запишешь алгебраическим способом так :

 g:{1,2,...,7} -> { вещественные числа } ...

 / / / / /Все-таки с упрощением - проще,и поэтому формульное представ-

/////ление предпочтительнее словесного.

Замечание:В продолжении этой книги мы будем работать,в основном,с функци-ями,области определения и значений которых есть множества чисел.Для удобства будем считать,что область значений всегда,если мы не говорим иначе,будет R={действительные числа}.   Обрати внимание! R есть общепринятое обозначение множества действительных [вещественных] чисел.

2. f  есть функция соответствия длины стороны основания параллелепипеда(из предыдущего вопроса) - его объему.  а)Запиши правило соответствия ...  б)Заполни: ...  Что представляет отображение,которое ты нашел?

3.Запиши нижеследующие функции на алгебраическом языке в предположении,что область значений есть R. Найди для каждой функции отображение 3-х.

Пример:Функция соответствия каждого целого числа-числу,противоположному ему.      h : { целые числа } -> R  ...   а)Функция соответствия каждого натурального числа-числу,обратному ему в третьей степени.  б)Функция соответствия каждого действи-тельного числа разнице между противоположным ему числом и числом 3. в)Функция соответствия каждого рационального числа  числу -5.

///// Обрати внимание на обозначения!   f :   x           ->      f(x)

/ / / / /                                                      источник      отображение

 

Cтр.29-30-31-32

4.Дано соответствие,записанное на алгебраическом языке: g : { целые числа } -> R ...

а)Сформулируй словесно правило соответствия. б)Сколько отображений у каждого источника? в)Сколько источников у каждого отображения?  г)Является ли это соответствие функцией?

5.Дана функция ... Пример:Отображение от -3 получается следующим образом... а)Найди:... б)Найди,если можно,элементы в области существования функции,чьи отображения cоответственно f есть:... в)Вычисли:...

6.Дана функция ...  а)Найди отображения следующих источников: ... б)Найди источники следующих отображений: ... в)Найди все источники,у которых их отображения - положительные.

7. x есть длина стороны квадрата. Запиши функцию площади квадрата от x.  Обрати внимание!Область определения должна соответствовать смыслу задачи.

Мы видели,что когда функция описывает задачу,то область ее определения ограничивается иногда по смыслу задачи. Также,когда функция не описывает конкретную проблему,область ее существования ограничивается из математических соображений(пример-в следующем упражнении).

8.а)Дана функция такая,что правило соответствия ее ...  Возможно ли,чтобы областью ее существования было R? Аргументируй.  -Какова область существования - наибольшая из возможных?  б)Дана функция такая,что правило соответствия ее ... Возможно ли,чтобы областью ее существования было R? Аргументируй.  -Какова область существования - наибольшая из возможных?

9.Для каждого из правил следующих соответствий найди область существования-наибольшую из возможных. Замечание.В продолжении этой книги,когда мы представляем функцию и не оцениваем область ее существования,-имеется ввиду область наибольшая из возможных. Область значений функции,для удобства,есть R.

-В алгебраическом представлении функции есть область существования,область значений и правило соответствия посредством алгебраического выражения.

-Чтобы найти отображение определенного источника,требуемое действие состоит в подстановке источника в алгебраическое выражение.  -Чтобы найти источник известного отображения,требуемое действие заключается в решении уравнения.

///// Догадка и обдумывание иногда предпочтительнее формальных  решений.

К а л ь к у л я т о р   и   ф у н к ц и я

Для решения нижеследующих упражнений тебе надлежит обзавестись научным калькулятором,работающим согласно правил арифметических действий,в котором также предусмотрены скобки.

10.Дана функция ... а)Вычисли ... б)Для вычисления а) подходит следующий порядок действий на калькуляторе ... Осуществи порядок действий - слева направо.Несомненно,ты получил тот же результат,что и в а).

Мы описываем "порядок действий" на калькуляторе с помощью последовательности клеток,содержащих числа и знаки. Каждая клетка,не содержащая числа, представ-ляет нажатие на одну клавишу калькулятора. Каждое число мы пишем полностью в одну клетку(несмотря на то,что необходимо нажимать,как правило,больше чем на одну клетку,чтобы выразить его). Нажатия на клавиши калькулятора осуществля-ются в соответствии с порядком клеток слева направо. Иногда мы оставляем в порядке действий  пустые клетки; клетки эти будут представляться переменной величине. К примеру: вычисления отображений функции в упражнении 10 можно осуществлять в соответствии со следующим порядком действий ... ,когда в пустую клетку записывают всякий раз один из источников.

 

Стр.33-34-35-36

Нажатие на клавишу |+/-| меняет знак выставленного числа на противоположный.

11.Дана последовательность действий ... ,производящая [вычисление] отображений функции g.  а)Вычисли ...  б)Запиши закон соответствия функции g.

Нажатие клавиши |1/x| дает число,обратное заданному на дисплее калькулятора.

12.Функция h каждому отличному от нуля действительному числу ставит  в соответствие обратное ему число.   а)Запиши порядок действий,осуществляющий   получение отображений функции h.   б)Вычисли числа,обратные нижеследующим: ...    в)Установи 0 вместо x и произведи те же действия. Объясни.

13.Перед тобой порядок действий,позволяющий получить отображения функции f ...   а)Заполни нижеследующую таблицу с помощью этого порядка действий. ...  б)Запиши функцию,соответствующую этому порядку действий.   в)Вычисли ...

///// Калькулятор не вычислил (-2.5) в третьей степени? Замени отрицательное

///// число на положительное! И присвой знак  результату согласно твоих

///// размышлений.

14.Найди отображение для x=-1.5 для каждой из следующих функций: ...

15.Дана функция ...  Проверь с помощью калькулятора.

///// Тебе пришлось ожидать,пока калькулятор выдает результат возведения в

///// степень? Он очень медленно совершает это действие. Если ты попытаешься

///// осуществить следующее действие до того,как результат возведения в степень

///// появится на дисплее,-получишь неверный результат. Вычисление квадрата

///// числа можно осуществлять несколькими способами.Выясни-какой из способов

///// эффективнее на твоем калькуляторе.  Запомни,что калькулятор осуществляет

///// действия согласно порядку принятому в арифметике.В упражнении 15     

///// нет нужды нажимать на клавишу = посредине вычислений.  Как известно,

///// нажатие на клавиши ... вызывает вычисление значений  соответствующих

///// функций(противоположной,обратной,квадратного корня и степени). Эти  

///// функции действуют с числом,которое высвечено на дисплее в этот момент.

УПРАЖНЕНИЯ

П р е д с т а в л е н и е   с   п о м о щ ь ю  а л г е б р а и ч е с к о г о  

в ы р а ж е н и я

1.Запиши на языке алгебры.(Найди область существования и правило соответствия. Область значений функции всегда R). а)Функция f соответствует частному каждого натурального числа и числа,следущего за ним[в ряду натуральных чисел].  б)Функция соответствия каждого рационального числа - числу -1.  в)Функция h от любого действительного числа,равная разнице между второй его степенью и про-

изведением числа на 5.  г)Функция m соответствия любому числу от 0 до 1(сами они не входят в этот интервал) его сумме с обратным ему числом.  д)Функция t cответствия каждого рационального числа его расстоянию от 0.

2.Дано следующее соответствие: h : { целые числа,кроме 0 } -> { рациональные

числа }. Правило соответствия: ... а)Словесно сформулируй правило соответствия.  б)Является ли это соответствие - функцией?

3.Функция ли перед тобой?Аргументируй.

///// [Вывеска:]клуб функций. [Объявление:]вход только для функций.

4.Дано соответствие g : { целые } -> R ...  а)Определи словами правило соответствия.  б)Сколько отображений есть у каждого источника? в)Сколько источников есть у каждого отображения? г)Является ли функцией это соответствие?  д)Определи новое соответствие так,чтобы каждое отображение соответствовало его источникам. Область существования нового соответствия есть множество отображений g,а область

значений его есть R. Является ли новое соответствие функцией? Аргументируй.

5.Дана функция ... Для какого из нижеследующих источников существует наибольшее отображение.

6.Дана функция ... а)Вычисли ... б)Найди все источники,у которых их отображения положительные.  в)Вычисли ...  г)Найди источники для следующих отображений: ...

7.Дана функция ...  Вычисли ...

 

Стр.37-38-39-40

8.Правило соответствия функции h таково ...  Область существования функции ... ,а область значений тождественна множеству отображений. Опиши функцию с помощью диаграммы.

9.Дана функция ...  Отметь верные утверждения. ... г)Когда ...  е)Когда ... ж)100 не принадлежит множеству отображений. з)f(x) у каждого целого x - четное.

///// Удостоверение личности | Имя ... | Область определения

///// Область значений | Cвойства для опознания на обороте

 

*Испытай свои силы

10.Даны функции,область существования которых R, ... Найди относительно каждой функции: а)Источники,отражения которых равны 0. б)Где в области определения функция - положительна и где она принимает отрицательные значения.

11.Дана функция ... ,область определения которой R. а)Вычисли ... б)Дано,что g(x)=0,каково значение x? Обрати внимание! Имеется больше чем одна возможность. в)Найди два дополнительных источника,у которых имеется одинаковое отображение.

*Испытай свои силы.г)Найди наименьшее отображение.Каков его источник

12.Из бассейна для полива забирали воду со скоростью 20 м.куб. в час Перед началом полива было в бассейне 1000 м.куб. воды. x обозначает время(в часах), которое прошло с начала забора воды из бассейна. а)Запиши правило соответствия функции k-количества воды в басейнеот x.  б)Заполни ...  в)Отметь - верно или нет:  -  k(30)=400,пояснение: отображение 30-и в соответствии с k есть 400.  -  k(30)=400,

смысл:после 30 часов вытекло из бассейна 400 м.куб. воды.  -Количество воды в бассейне изменяется в соответствии с временем полива. -Количество воды в бассейне растет с ростом времени полива.  -Прошло 50 часов.Бассейн опустел. 

-С тем,что проходит больше времени,уменьшается количество воды,забираемое из басейна.  г)Запиши для этой функции область существования,соответствующую содержанию задачи.

13.В лавке вывешено объявление:"Распродажа-ликвидация!Каждый предмет одежды со скидкой 40%".  а)Запиши функцию g от предыдущей цены одежды(в шекелях) - ее новой цены после скидки.  б)Вычисли g(60). в)Покупательница намерена приобре-сти юбку,исходная цена которой равна 60 шекелям.Хватит ли ей 35 шекелей.  г)a и b - исходные цены двух пар носок и известно,что a>b. Что ты можешь сказать об соот-ношении между g(a) и g(b).  д)Покупатель купил рубашку на распродаже-ликвидации и получил сдачу с 50 шекелей. Что ты можешь сказать об исходной цене рубашки?

*Испытай свои силы  е)Запиши функцию от цены товара после скидки,рав-

ную исходной цене.

///// Бутик(модный магазин) | Что мне важно | Cкидка 120% ...

14.Длина одной из сторон прямоугольника равна 6 см. x обозначает длину второй стороны. Найди правило соответствия следующих функций: а)Функция от x площади прямоугольника.  б)Функция от x периметра прямоугольгника. в)Функция от х длины диагонали прямоугольника. г)Функция от х постоянной стороны прямоугольника. *Испытай свои силы   д)Функция от х стороны квадрата,у которого периметр равен периметру прямоугольника.  б)Функция от х стороны квадрата,у которого площадь равна площади прямоугольника.

Т а й м - а у т

а)Жили-были два друга | b и c - положительные числа. | Не хотели они расставаться | И решили объединиться.    б)Сказал b:"Самое логичное | Взять d-среднее арифметическое. | Если мы двое объединимся, | Оно будет нас представлять.

в)"Более приемлемо",-сказал ему c, | "Как раз h - среднее геометрическое. | Т.е. корень

квадратный из нашего произведения | Он лучше будет представлять нас обоих".   г)Ответил b заупрямившись: | "Если бы нам было предложено представ-

лять стороны прямоугольника, | То d явится стороной квадрата, | Периметр которого,как известно,такой же,как периметр прямоугольника".  д)Сказал c голосом решительным: | "А согласно моего решения | Вместо периметра возьмем площадь. | И h подходит наилучшим образом"   е)Не смогли числа |  Спор разрешить, | Поэтому расстались друзья |  И их огорчение кто сможет выразить.  ж)Предположили,что b и с -положительные, | И записали выражения для средних. | И затем сказали им, | Верны ли их слова.   з)А также нашли быстро, | Какой из средних наибольший? | Частного случая будет достаточно | Для общего правила.

 

Стр.41-42-43-44

15.Аренда прибора стоит 7 шекелей за один день. За каждый дополнительный платят 5.5 шекелей.  а)Сколько должен заплатить человек,который снял этот прибор на 4 дня,на 10 дней?  б)Найди функцию f оплаты в шекелях,соответствующую числу дней аренды(x). Не забудь записать область существования функции и область значений

функции. в)Вычисли f(4). Проверь - получил ли ты тот же результат, который был получен в а).

16.Образовали прямоугольник из 12 полных квадратов со стороной у каждого,равной 1. f - функция периметра,соответствующая длине x одной из сторон прямоугольника.  а)Вычисли f(x),когда х=3,х=12.  б)Определи область существования функции. в)Запиши правило соответствия посредством алгебраического выражения.  г)Найди два аргумента таких,что у них одинаковое отображение. Объясни!

17. Камень падает с крыши дома высотой 125 м. Функция ... описывает соответствие между числом секунд,что прошли между началом падения камня, и - расстоянием(в м.),которое он покрыл.   а)Какое расстояние покрыл камень через 3 сек.?  б)Запиши область существования функции, соответствующую содержанию задачи.  в)Вычисли ... и объясни смысл результата.  г)Ребенок говорит:через 6 сек. камень покроет 180 м.,т.к. 5*6*6=180. Что ты ему скажешь на это?

18.Для каждого из следующих правил правил найди среди действительных чисел наибольшую область существования,в которой функция определена. ...

*Испытай свои силы ...

19.Дано правило соответствия ... и даны функции f и g,осуществляющие его.  а)Область существования f есть ... ,каково множество отображений.   б)Множество отображений g есть ... ,какова наибольшая из возможных область существования g?

20.Даны функции g и h,у которых правило соответствия: ...  а)Область существования g есть ... ,каково множество отображений?  б)Множество

отображений h есть ... ,какова наибольшая область существования h?

К а л ь к у л я т о р   и   ф у н к ц и я

21.Площадь прямоугольника составляет 1 кв.м.   а) x представляет длину одной из сторон прямоугольника в м. Найди функцию периметра прямоугольника, соответ-ствующую х.  б)Запиши порядок действий,осуществляющих получение отображений этой функции(переменная представляется с помощью пустой клетки). Старайся использовать клавишу |1/х| и экономить нажатия.  в)Вычисли периметр прямоугольника,у которого одна из сторон имеет длину 2.5 м.,0.4 м.,1.5 м.

22.Какой из следующих порядков действий осуществляет отображения функции ...

23.Опиши эффективный порядок действий для вычисления отображений каждой нижеследующей функции в области ...  Относительно х=3.2 дай оценку его отображения для каждой функции,а затем вычисли его в соответствии с твоим порядком действий.   Пример:

Отображение по | Отображение прибли- | Порядок дей- | Функция

  вычислению    |      зительно(оценка)   |        ствий      |

24.Восстанови функции,соответствующие нижеследующим порядкам действий. Укажи наибольшую возможную область существования функций.

///// Если нажмешь на правую(закрывающую) скобку калькулятора,полу-

///// чишь значение выражения внутри скобок.

 

Стр.45-46-47-48-49-50-51

25.Дано семейство прямоугольных треугольников,в котором длина одного из катетов каждого треугольника равна 12 см.  а)Функция g есть соответствие длине гипотенузы(х) каждого треугольника из этого семейства длине второго катета. Напиши закон соответствия с помощью алгебраического выражения.  б)Вычисли g(15).  в)Найди последовательность действий [на калькуляторе] для g(х). г)Осуществи эту последовательность действий для х=25,х=10. Что ты  получил? Объясни. д)Какова наибольшая возможная область определения функции g?

26. g-функция,ставящая в соответствие длине стороны квадрата(в см.) длину его диагонали.  а)Напиши закон соответствия функции g. б)Длина стороны квадрата есть целое число,а длина диагонали больше 150 см. Что ты можешь сказать о длине стороны квадрата?

27.Дана функция f такая,что правило соответствия ее ... Множество

отображений функции: ... Найди область существования функции.

Д л я   т в о е г о   у д о в о л ь с т в и я

28.Функция на окружности.  Перед тобой окружность функций.Каждое отображение,

соответствующее одной из функций есть источник следующей за ней по окружности функции.   а)Выбери положительное число и запиши его в один из кружков.Найди его отображение в соответствии с указанной функцией и запиши его в следующий кружок.Повторяй процесс нахождения отражений до тех пор,пока не завершится окружность. -Получил ли ты в конце число,которое выбрал?   б)Повтори а) с дру-

гим числом и другим кружком.  в)Повтори а) с переменной "а" вместо числа.   г)Перемени направление стрелок на обратное.Получишь ли ты снова по возвращении - число,которое выбрал?

29.Построй пирамиду.   Заполни клетки соответствующими числами.Стрелка направлена от источника к его отображению в соответствии с функцией,через которую она проходит.(Область существования и область отображений есть множества действительных чисел).

30.Пары функций.   Для каждой функции из правой колонки найди функцию из левой колонки такую,что у нее то же множество отображений.

И с с л е д у й   и   о т к р о й

31.Функции и правила  I.Перед тобой функция ... .   а)Вычисли ...   б)Вычисли ... в)Вычисли ...  г)Словесно сформулируй правило.   II.Для каких из нижеследующих функций,определенных в ... ,действует правило ... для каждого a и для каждого b в области определения.   III.Для функции h действует правило ... для каждого a и для каждого b в области ее определения;известно также,что 0 принадлежит этой области. Докажи,что в h действует h(0)=0. Указание:вырази h(f+0) другими способами.

IY.Функция ... ,определенная в R,осуществляет правило ... для каждого a и для каждого b в области определения.Докажи.  Y.Какие из функций в задании II осуществляют правило ... для каждого a и каждого b в области определения.

ИЗБРАННЫЕ ОТВЕТЫ

1.а)f : { натуральные } -> R; ... д)t : { рациональные } -> R ... 9.а)верно; б)нет; ... 10.б)Положительные ... или ... |Отрицательные ... или ... нет   11. ... д)-4 и источник его 3.  12. ... в)да,нет, ...   13. ... е)меньше 83.34 шекелей.  16. ...г)К примеру,2 и 6 ...

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ГРАФИЧЕСКИМ СПОСОБОМ

Г р а ф и к   ф у н к ц и и

Мы уже видели,что можно представлять соответствие различными способами.Одно из самых используемых представлений соответствий,у которых область определения и область значений-числовые множества,есть представление графическое. Графи-ческое представление осуществляется в системе координатных осей.Элементы области определения откладываются на горизонтальной числовой оси - оси x, элементы области значений - на вертикальной числовой оси,оси y. Соответствие между источником и его отображением описывается с помощью точки в системе координатных осей.  Первая координата точки есть число из области определения,а вторая координата - это его

отображение по соответствию

             y=f(x)             ^

отображение             |     (отображение,источник)

область значений      |

------------------------------------------------------------------------------------->

область определения  |       область определения  источник         x

Определение:Совокупность всех точек в системе координатных осей,описывающая соответствие,называется графиком соответствия.

1.Перед тобой стрелочная диаграмма,описывающая функцию f. Начерти координатные оси и представь график функции.

 

Стр.52-53-54-55

2.Перед тобой графическое представление соответствия g. Отметь "верно/не верно" нижеследующие предложения:  а)Отображение 2-х есть 1. б)Отображение 1-ы есть 2.  в)У нуля есть два отображения.  г)Соответствие g является функцией.  д)У 1-ы есть два источника.  е)Источник 2-х есть 0. ж)Источник -2-х есть 0.

///// График соответствия,установление области определения,описание

///// с помощью таблицы поможет решению задачи.

3.Ученик приступил к чтению английской книги,в которой 40 страниц.Предположим, что

каждый день он читал 5 страниц.  а)Запиши функцию f от числа дней,которые прошли(х) с начала чтения,соответсвующую числу страниц,которые осталось ему прочесть.  б)Опиши функцию в виде графика.  в)"Чем больше прошло дней,тем меньше ему осталось страниц для чтения".Объясни - с помощью выражения и графика.

4.Титан,вмещающий 40 литров воды,опорожняется через открытый кран со скоростью 5 литров в минуту. g есть функция соответствия каждой минуте(х) - количеству воды(в литрах),которое осталось в титане. а)Вычисли ...  б)Найди правило соответствия g.  в)Опиши функцию g с помощью графика.  г)Какая есть разница между графиком g и графиком h из вопроса 3. Аргументируй.

Понятно,что графики,которые продолжаются бесконечно,невозможно начертить полностью. Поэтому мы будем чертить только характерную часть таких графиков. Чтобы мы могли отличить конечные графики от графиков бесконечных,будем завершать конечный график кружком. Будем зачернять кружок с крайней точкой,принадлежащей графику,и оставлять его пустым, если крайняя точка графику не принадлежит.   Пример:  График бесконечный                  График конечный

Область определения:{все действительные числа} Область определения:..

5.Поставь в соответствие каждому графику область определения - из списка внизу.

Под целой частью числа понимают наибольшее целое число,которое не больше заданного числа. Обозначают целую часть числа с помощью квадратных скобок с обеих сторон числа. К примеру: ...

6.Вычисли целые части следующих чисел: ...

///// Обрати внимание! Целая часть числа(не целого) всегда находится

///// слева от него на числовой оси.

7.Дано следующее соответствие: ...  а)Это соответствие - функция? б)Найди отображения для ...  в)Найди источник,у которого отображение равно 3-м. Сколько имеется подобных источников.  г)Начерти график соответствия f.

8.График,который перед тобой,есть график соответствия m. а)Заполни: ...  б)Сколько отображений есть у 1-ы согласно соответствию m? Аргументируй!

9.Перед тобой графики соответствий.  Какие из этих графиков являются

графиками функций?

10.Заполни:  Соответствие h есть функция тогда и только тогда,когда любая прямая,параллельна оси __ пересекает график h самое большее в одной точке.

 

Cтр.56-57-58-59

П р е и м у щ е с т в а   г р а ф и ч е с к о г о  п р е д с т а в л е н и я

11.Движущаяся частица на прямой линии.  На прямой линии находится точка P и

движущаяся частица,удаляющаяся и приближающаяся к ней (туда и обратно) во время своего движения. Функция f от x -время в секундах,которое прошло с того момента как точка начала свое движение,-это ее расстояние(в см.) от точки P. Перед тобой график функции f.   Обрати внимание!График продолжается вверх до бесконе-

чности.   Отметь:верно,неверно или неизвестно.   а)Частица начала свое движение на расстоянии 4 см. от точки P.   б)Частица все время удалялась от точки P.   в)Во время своего движения частица проходила через точку P.   г)Спустя 1.5 секунды частица находилась на расстоянии 7.375 см. от точки P.   д)После 3 сек. движения частица только удалялась от P.   е)В течение второй и третьей секунд частица

приближалась к P.   ж)В продолжение движения имела место остановка частицы на несколько секунд.   з)Через 10 секунд частица находилась на расстоянии 5 м. от точки P.   и)Частица дважды меняла направление движения.

12.Правило соответствия функции f из задачи 11 ... .   а)Найди с помощью подстановки три точки на графике и проверь.   б)На какие из вопросов а)-и) задачи 11 ты можешь ответить только с помощью выражения и без помощи графика.   в)Попытайся найти источник 6-и. Возможно ли найти его из алгебраического представления с помощью решения уравнения? Аргументируй. Возможно ли найти его приблизительно с помощью графика?   г)Как ты думаешь-существуют ли функции,располагающие графическим представлением,у которых нет представления с помощью алгебраического выражения?

 

///// Эскиз(набросок) графика - это график приблизительный. У тебя нет необ-///// ходимости в дополнительных данных. Подчеркни только  изменения.

13.Перед тобой бутылка,наполняемая постоянной струей воды. а)Заполни с помощью слов:быстро,медленно. Вначале поверхность воды поднимается __ ,затем __.   б)Начерти эскиз графика функции f высоты уровня воды в бутылке от количества секунд,что прошли. Будем считать,что вначале бутылка была пустой.

Графическое представление функции дает нам общую ясную картину о функции. График функции позволяет видеть как изменяется значение функции(отображение) в соответствии с изменением источника. Когда функция описывает процесс,можно по графику составить представление о способе его совершения. Когда трудно решить соответствующее уравнение,мы можем найти источники приблизительно из графика.

14.На чертеже набросок графика соответствия: ...   -Верно или нет?  а)...  б)Область определения соответствия есть множество положительных чисел.  ...   г)Соответствие f есть функция.  д)Если а-положительно,то ... также положительно.   ...  з)Если а-отрицвтельно,то не существует действительного числа,равного ... . и)Для каждого источника f есть два отображения - числа противоположные.   к)Множество отобра-

жений f есть ... .   л)У каждого отображения f есть единственный источник.   

-С помощью графика f начерти эскиз графика функции ...

15.Сколько решений есть у уравнения ...   Инструкция:Воспользуйся наброском графика функции ...

УПРАЖНЕНИЯ

Г р а ф и к   ф у н к ц и и

1.На чертеже график функции f. ...   а)Найди с помощью графика: ...  б)Каков источник 6-и? 0-я? -4-х?   в)Для каких значений источника осуществляется ...  г)Каковы значения f(x),для которых ...  д)Заполни значения,отсутствующие в таблице функции f. е)Найди правило соответствия f.

2.Одна из сторон прямоугольника равна 2 см. Функция f от длины второй стороны есть периметр прямоугольника. Перед тобой график этой функции.   а)Представь функцию с помощью алгебраического выражения. б)Что означает точка A на графике по отношению к прямоугольнику? в)Запиши числа вместо точек B и C.

 

Стр.60-61-62-63-64-65-66-67

3.Перед тобой график функции g,область определения которой ...  а)Каковы отображения [источников]: ...  б)Каковы источники [отображений]: ...

4.Номер,нанесенный на яйцо,устанавливается в соответствии с весом

.  номер            вес(в граммах)

.    1                 70-75(не включая 75)

.  .....                 ....................

а)Опиши с помощью графика функцию f соответствия веса яйца в граммах его номеру.   б)Чему равно f(57)?...  в)Известно,что вес яйца меньше 62 грамм.Что ты знаешь о его номере?  г)Какие из следующих точек находятся на графике функции?

5.Область существования f ...  Область отображений ...   Какие из нижеследующих графиков могут быть графиком f?

6.Область существования g: ...   Множество отображений ее ... Какие из вышеприведенных графиков могут быть графиком g?

7.A,B и C обозначают точки на графике функции.Какой источник и какое

отображение у каждой из упомянутых точек.

8.M,N и P обозначают каждая - источник функции. Какое отображение

соответствует каждому источнику?

9.T,U и V обозначают элементы области значений функции. Найди соответствующие им источники.

10.Перед тобой несколько графиков функций. Для каждого отмеченного элемента(A)  или нескольких элементов(A,B,...) из области определения отметь их отображения в области значений ...

11.Перед тобой несколько графиков функций. На каждом дана точка ,B описываю-

щая отображение. Отметь элементы в области существования,которые являются источниками B.

12.На чертеже график функции f.  а)Отметь в системе координатных осей буквой С

точку,описывающую пару чисел таких,что пара эта источник и отображение функции.  б)Отметь буквой D точку,которая не описывает пару чисел,являющихся источником и отображением функции.  в)Отметь в системе координатных осей один из источников функции.  г)Отметь отображение,соответствующее источнику,который ты отметил прежде.

13.Перед тобой график функции ...  а)Найди координаты точек A и B. б)Дополни координаты точек C(2,_) и D(-3,_) и отметь их местоположение на графике. )Сколько источников есть у 1? Найди их приблизительные значения на графике.   Проверь свою приближенную оценку подстановкой в выражение.

*Испытай свои силы

14.Перед тобой график функции ...   а)Вычисли источники нуля.Отметь соответ-ствующие точки на графике.   б)Вычисли отображение нуля и отметь подходящую точку на графике.  в)Проверь,согласно графику,сколько источников есть у 6-и. г)Найди источники 6-и алгебраическим путем.

15.Дана функция ...   а)Начерти график функции.   б)Добавь в область определения все возможные члены,но так,чтобы область значений функции не изменилась.  в)Начерти график новой функции,которую ты получил. г)Начерти в той же системе координатных осей график функции ...

16.Функция f есть соответствие периметра треугольника (в см.) сумме его углов. а)Запиши соответствующую область определения. б)Найди ... в)Начерти график функции.  г)Каково множество отображений?  д)Каковы источники для 180? для 90?

16.Дана функция ...   а)Заполни ...   б)Для скольких значений a выполняется ...   в)Существует ли действительное число a такое,что ... г)Начерти график функции g.

18.В начале поездки в такси счетчик сразу показывает 5 шекелей.Через каждый км. поездки счетчик "прыгает" и добавляет 2 шекеля. Функция f стоимости поездки(в шекелях) зависит от расстояния (в км.),которое проехало такси.  а)Найди ...   б)Начерти график функции. в)Найди в соответствии с графиком источники 9-и и 10-и.Объясни!    *Испытай свои силы. г)Алгебраическое представление f имеет форму ... Найди a  и b.

19.Месячная цена за воду включает оплату обслуживания счетчика в сумме 3 шекеля и 0.5 шекеля за каждый м.куб. воды. Работники,которые снимают показания счетчика по поручению местного совета,записывают только целые числа(м.куб.). g есть функция платы за воду от количества воды(в м.куб.),которое использовала семья в течение месяца.

а)Вычисли ...   б)Начерти график функции.   в)Найди в соответствии с графиком источники для 8.5,10.5 . Объясни.

20.а)Начерти график функции f,которая есть ...   б)Начерти график функции g,  у которой выполняется ...   в)Начерти график функции h,у которой выполняется ...  

-Сколько графиков ты можешь начертить в каждом случае.

 

Cтр.68-69-70-71-72-73-74

21.Какие из нижеследующих графиков изображают функцию?

П р е и м у щ е с т в а   г р а ф и ч е с к о г о  п р е д с т а в л е н и я

22.Из квадратного листа бумаги со стороной 18 см. вырезали по углам одинаковые квадраты. Из остатка листа сложили открытый квадратный параллелепипед. f есть функция соответствия длины стороны в см.(x) вырезанного квадрата - объему параллелепипеда(в куб.см.)  Инструкция.Объем параллелепипеда вычисляют с помощью умножения площади основания на высоту(x).  а)Вырази длину основания параллелепипеда через x.   б)Запиши правило соответствия функции f.

Воспользуйся графиком функции f и ответь:   в)Какова область определения фун-кции?Объясни.   г)Точка a на графике функции представляет параллелепипед,объем которого наибольший. Каковы длина,ширина и высота этого параллелепипеда.   д)Ребенок говорит:"Чем больше квадраты,которые вырезают по углам,тем получается параллелепипед с меньшим объемом."Что ты скажешь ему?

23.Перед тобой чертеж различных сосудов,которые наполняются водой с постоянной скоростью. И перед тобой графики,описывающие высоту воды в сосуде как функцию от времени. Поставь в соответствие графики и сосуды.

Д л я   т в о е г о   у д о в о л ь с т в и я

24.Даны нижеследующие функции и графики,для которых f : R -> R ... Поставь в

соответствие график - функции и запиши около каждого графика соответствующую букву. Что ты получил?

ИЗБРАННЫЕ ОТВЕТЫ

Замечание:Часть ответов округлены до второй цифры после[десятичной] точки. ... 

2. ...б)квадрат ...   3. ... б)...нет ... 9. ...б)...нет ... 17. ... б)бесконечность  в)нет  

18.  ... в)... 10 не является отображением.

Т а й м - а у т

а)Трех дежурных назначила учительница, / Чтобы беспокоились о чистоте класса,

/ Переворачивании стульев,доставке мелков / И удовлетворяли тем самым желание учителей.      б)Но поскольку ни одному из дежурных / Не была симпатична уборка

класса, / И каждому из дежурных / Захотелось как раз доставлять мелки,

в)Решили сделать справедливо / И поэтому организовали для них очередь. / А чтобы предотвратить проблемы, / Записали все возможности.    г)И каждый день,не зажмуриваясь, / Менялись согласно листка.  И теперь скажите / За сколько дней списки закончились?      д)Возвестила учительница с лицом суровым: / "Дежурным надлежит также  вытирать доску!" / Но чтобы успокоить бедолаг, / Назначила допонительного дежурного.  е)Четверо дежурных вторично уселись, / Задумали они организовать новую очередь. / Список переменился. / На сколько дней,скажешь ты?

ж)В параллельном классе / Услышали о чудесной идее. / Но поскольку там большинство грязнули, / Они нуждаются в большем числе дежурных.     з)Сидели друзья много времени, / Но не хватило им листа бумаги, /Потому что,если засчитывать субботы и праздникм, / Хватит список на два года(720 дней)

 Скажите,каково теперь число дежурных?

 

Стр.75-76-77-78-79

РАЗБИЕНИЕ НА ЧАСТИ ОБЛАСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ

1.Группа детей вышла в пешеходную прогулку. Они прошли 12 км. за 3 часа,час отдохнули и вернулись по домам (расстояние 12 км.) еще через 6 часов. Предположим,что в различные отрезки пути их скорость была постоянной. 

s - функция от x(времени,которое прошло),соответствующая количеству

километров,которое прошагали дети до этого момента.  а)Сколько часов были дети в походе? Какова область определения s?  б)Запиши закон соответствия функции s,когда ...  в)Вычисли ...  г)Каков закон соответствия для членов области ...  д)Вычисли ...  е)Запиши закон соответствия для времени,в течение которого дети возвращались по своим домам. Какова часть области определения функции в этом случае.   ж)Начерти график s.

Мы опишем функцию s алгебраическим способом так: ...

2.Запиши алгебраическое представление функций,графики которых приведены ниже.

3.Начерти график функции ...

4.Дана функция g в алгебраическом  и графическом представлениях.  а)Вычисли ... . б)Найди координаты точек A,B и C,которые находятся на графике. в)Найди в соответствии с графиком,сколько источников есть у 3-х и вычисли их. г)Сколько источников есть у 5-и? Найди их.

///// Если ты хочешь получить отображение данного источника,найди

///// соответствующее выражение согласно области определения.

УПРАЖНЕНИЯ

1.Начерти график каждой нижеследующей функции.

2.Поставили чайник с водой на огонь на 8 минут. Предположим,что вода согрева-ется со скоростью 15 градусов С в минуту. Известно,что вода кипит при 100 градусах С и все время кипения ее температура не растет.  f есть функция от x(времени в минутах,которое прошло с того момента как вода начала подогреваться),соответствующая температуре воды.   а)Предположи,что темепература воды перед подогревом была 10 градусов С и начерти график f.   б)Запиши алгебраическое представление f.

*Испытай свои силы

3.Найди алгебраическое представление функции ... ,выполняющей ...

4.Ванна может вместить 450 литров воды. Кран открыли,когда ванна была пустой,на 20

минут; ванна наполнялась со скоростью 30 литров в минуту.   а)Запиши функцию от времени(в минутах),прошедшего от открытия крана,соответствующую количеству воды(в литрах),которое находится в ванне(не забудь об области определения). б)Начерти график функции.  в)Найди с помощью вычисления и на графике ...

5.Велосипедист выезжает из Хайфы с постоянной скоростью 12 км/час.

После того,что он ехал 5 часов с этой скоростью,велосипедист ускорился до 15 км/час и ехал так еще 4 часа.   а)Опиши функцию от времени,которое прошло с момента выезда из Хайфы(в часах),соответствующую длине пройденного пути.   б)Какой путь проехал велосипедист по прошествии 3 часов? 7 часов?

6.Найди еще одно алгебраическое представление для следующих функций:

Намек:Раздели область существования на две части. ...

*Испытай свои силы ...

И с с л е д у й   и   о т к р о й

7.Особые функции

I.Смысл обозначения max(2,3):наибольшее из чисел 2 и 3. Т.е. max(2,3)=3. а)Вычисли ...   б)Дана функция: ... Вычисли: ... в)Начерти график этой функции.   г)Найди дополнителное алгебраическое представление этой функции.     

II.Смысл обозначения min(-7,-5):наименьшее из чисел -5 и -7. Т.е. min(-7,-5)=-7. а)Вычисли: ...  б)Дана функция: ... Вычисли ... в)Начерти график функции. г)Найди дополнительное алгебраическое представление функции h.  д)Найди дополнительное алгебраическое представление функции ...

 

Стр.80-81-82

III.Какие из следующих функций f : R -> R описываются с помощью этого

графика: ...

ИЗБРАННЫЕ ОТВЕТЫ

... 3.Например: ...  5 ... б)Через 3 часа-36 км.Через 7 часов-90 км.

И т о г о в ы е   у п р а ж н е н и я   г л а в ы

Для каждого из следующих условий начерти,если можно,график функции f, соответствующей ему.  Запиши для каждого условия - сколько графиков ты можешь начертить.   а)Область существования:натуральные числа Область значений функции:натуральные числа.   б)...действительные числа ... натуральные числа.   в)...действительные числа ... положительные числа.   г)...действительные числа ... отрицательные числа. д)...действительные числа ... число -3.  е)...действительные числа ... {1,-1}.   ж)...{x|x не = 0} ... действительные числа.   з)Все отображения положительные.  ...   л)(7,10) и (3,5) находятся на графике.  м)... находятся на графике.   н)... находятся на графике.  -Запиши для каждого из условий а)-и) функцию алгебраическим способом. Сколько функций мы можем записать для каждого условия.

 

                                                                                                   Стр.83-84-85-86-87-88

ГЛАВА 2 : СВОЙСТВА ФУНКЦИИ

ЧТО ПРОИСХОДИТ В ЧАСТИЧНОЙ ОБЛАСТИ?

Н у л е в ы е   т о ч к и

Определение:Нулевая точка функции есть источник,отображение которого равно нулю.

/////Нулевая точка иногда определяется в других книгах как точка с двумя /////координатами.Вторую координату,которая равна нулю,мы всегда

/////опускаем,чтобы сделать облегчение ученику.

1.Какие есть нулевые точки у следующих функций? ... г) f : { целые } -> R ...  

е) f : { натуральные } -> R ...

2.Начерти график функции,у которой нет нулевых точек.

3.Найди алгебраическое представление функции,у которой нулевые точки  -4 и 0.

П о л о ж и т е л ь н о с т ь   и   о т р и ц а т е л ь н о с т ь

Определение:Функция называется положительной в ее частичной области,если отображение каждого источника в ней-положительное.

4.Дай определение отрицательной функции в частичной области.

5.Что тебе известно о графике функции f в следующих случаях: а)f положительна

в пределах всей области ее существования. б)f отрицательна в пределах всей области ее существования.

6.Найди частичные области,в которых следующие функции либо положительны

либо отрицательны. ... г) f : { натуральные } -> R ... Замечание:В дальнейшем  частичную область будем именовать  коротко-область.Из контекста можно будет понять имется ли ввиду частичная область или вся область существования функции.

7.Начерти график функции,которая в области ее существования R отвечает всем следующим условиям: g(2)=-2, g(-2)=6, для x < -1 функция положительна, для x > -1 функция отрицательна.

В о з р а с т а н и е   и   у б ы в а н и е

Перед тобой график функции.И себе человечка,идущего по графику,когда направ-ление его движения совпадает с положительным направлением оси x(т.е. слева направо).  Пусть он выходит из точки A,находящейся на графике. Чтобы достичь точки B на графике,ему необходимо подниматься. После того,чтобы добраться из точки B в точку C,ему надо спускаться. Подъем и спуск человечка по кривой есть иллюстрация к математическому понятию возрастания и убывания функции.

8.Выбери из а)-г) подходящее завершение: Если функция возрастает в опреде-ленной области  с увеличением x в нем, f(x) а)растет; б)уменьшается; в)остается постоянной; г)иногда растет,иногда уменьшается,иногда остается постоянной.

9.Дана функция ... и известно,что она растет в интервале ... . Отметь < или >,

если это можно установить. ...

10.Относительно каждой функции отметь,в каком интервале(или интервалах) она возрастает. К примеру: интервал возрастания: ...

11.Выбери из а)-г) подходящее завершение: Если функция убывает в определен-

ном интервале с увеличением x в нем, f(x)  а)растет; б)уменьшается; в)остается постоянной; г)то растет,то уменьшается,а то остается постоянной.

/////Обрати внимание! Интервал возрастания или убывания является

/////открытым,т.е. не включает крайние точки.

12.Дана функция ... и известно,что она убывает в интервале ... Отметь < или >,

если возможно установить.  ...

13.Относительно каждой из следующих функций-отметь,в каком интервале(или интервалах)она убывает. ...

14.Дана функция ... . f  растет в интервале ... и убывает в интервале ... . Отметь < или > или =,если возможно узнать.

Определение:Функция возрастает в определенном интервале*/ *Говорится только  об интервале,который или отрезок или луч(полупрямая) или прямая,но не область, состоящая из кусков/,если для любых x2>x1,принадлежащих этому интервалу, справедливо f(x2)<f(x1).

15.Постоянная функция в определенном интервале это такая функция,у которой

все ее отображения в этом интервале - равны.

 

Дополни то определение: Функция постоянна в определенном интервале*/см. * выше /,если для любых x2>x1,принадлежащих этому интервалу,справедливо __.

16.Выбери из а)-г) подходящее завершение: Если функция постоянна в опреде-ленном интервале,то с возрастанием x в нем f(x) а)возрастает; б)уменьшается; в)остается неизменной; г)то растет,то убывает,а то остается неизменной.

-Нулевые точки функции это источники точек,в которых график функции пере-

секает ось x.   -Если функция положительна во всей области ее определения,

график ее весь находится выше оси x.   -Чтобы найти нулевые точки или интервалы,в которых функция положительная или отрицательная,когда дано алгебраическое представление ее,следует решить соответствующее уравнение.  

-Возрастание и убывание мы можем найти на этом этапе систематическим способом только из графического представления функции.

 

Стр.89-90-91-92

УПРАЖНЕНИЯ

Н у л е в ы е   т о ч к и

1.Каковы нулевые точки следующих функций,определенных в R. ...

2.Каковы нулевые точки следующих функций? ... б) f : { рациональные } -> R  ...

3.Найди алгебраическое представление функции,у которой нет нулевых точек.

4.Начерти график функции f, отвечающей условиям:нулевые точки 2 и -2, ...  

-Можешь ли ты начертить другой график функции,отвечающей этим условиям?

5.Какой должна быть переменная a,чтобы -2 была нулевой точкой следующих функций? ... б) f : { отрицательные } -> R ...

Тайм-аут

а)В моем городе есть луна-парк/И есть в нем также гигантское колесо [обозрения]. /На своем месте сидит Галь/И не обращает внимания на окрестности,/Потому что размышляет о функциях.   б)В своем воображении он проводит/Диаметр [колеса] через ось./Линия параллельна земле,/Но почему и зачем?/Потому что организует

он соответствие.   в)Соответствие между расстоянием,которое он проехал/С того момента как уселся на свое место,/И расстоянием,которое образуется/Между ним

и той линией,/Которую он представил в своем воображении.   г)Попытайтесь,пожалуйста,описать графиком,/Не точно-приблизительно,/Это соответствие/Необычное,/Которое представил себе Галь.   е)В соответствии с оценкой Галя/Радиус колеса/Составляет 3 метра./Найдите нулевые точки/Соответственно его оценке.

П о л о ж и т е л ь н о с т ь   и   о т р и ц а т е л ь н о с т ь

6.Найди интервалы,в которых следующие функции отрицательны. ...

7.Найди интервалы,в которых следующие функции положительны. ...

8.Начерти график функции f,отвечающей следующим условиям:f положительна, когда ... ,и отрицателна,когда ... или ... -Можешь ли ты начертить другой график функции,отвечающей тем же условиям.

9.Найди интервалы,в которых функции положительны: ...  б) f : { целые } -> R ...

10.Начерти график такой функции,чтобы она была положительна в интервале x>0

и отрицательна в интервале x<0 и чтобы у нее не было нулевых точек.   -Можешь

ли ты начертить график другой функции,отвечающей тем же условиям?

11.На чертеже график функции f.   а)Известно,что f(x)=-3.Что ты можешь сказать про x?   б)Известно,что f(x)<2.Что ты можешь сказать про x?   в)Известно,что -3<f(x)<4.Что ты можешь сказать про x? г)Какие есть нулевые точки у функции? 

д)В каком интервале функция положительна?

12.Сумма двух действительных чисел равна 6.Перед тобой график функции f от одного из этих чисел x,соответствующий их произведению.  а)Запиши область существования и  закон соответствия функции посредством алгебраического выражения.   б)Какие есть нулевые точки у функциии?   в)В каком интервале функция отрицательна?Объясни!  г)Верно ли сказать,что "если одно из чисел возрастает,то растет и их произведение"?Аргументируй!

 

Стр.93-94-95-96-97

13.Перед тобой график функции ...   а)Найди нулевые точки функции.  б)Каков

интервал,в котором функция положительна?   в)Угадай источник числа -12.   *Испытай свои силы.  г) a и b -два источника,находящиеся между двумя нулевыми точками на одинаковом расстоянии от них.Вырази b через a и покажи,что у двух источников есть равные отображения.  д)В г) доказывается,что график функции симметричен в интервале между двумя нулевыми точками.Каков источник,у  которого максимальное отображение?Вычисли это отображение.

14.Перед тобой график функции ...   а)Найди нулевые точки функции.

б)Найди интервалы,в которых функция положительна.

*Испытай свои силы

15.Перед тобой график функции g,которая является периодической(повторяет себя).   а)Какие есть нулевые точки у g?   б)В каких интервалах функция положительна?

16.Перед тобой график функции f.Отметь верно/не верно. ...  д и др.)Если ...,то ...;  

17.Перед тобой графическое описание функции ...   а)Между какими двумя сосед-ними целыми числами находится каждая из нулевых точек функции?Не ищи собственно нулевые точки.   б)Наименьшие значения f(x) на графике получаются для целых x.Найди координаты этих точек.

18.Перед тобой график функции ...   а)Отметь буквой A точку на графике,источник которой есть 0?   б)Каково отображение нуля? в)Принадлежит ли -2 множеству отображений f?Аргументируй.

В о з р а с т а н и е   и   у б ы в а н и е

19.Относительно каждой из нижеследующих функций запиши подходящие

интервалы в следующую таблицу:  функция    |нулев.точки|положит.  |отрицат.| растет|убывает|постян.          Пример f(x):    ...    x<-2 или x>2    ...   ...    ...     ...

20.Для каждого из следующих разделов задачи начерти график функции,обладаю-щей свойством:  а)Функция растет во всей области ее существования.  б)Функция убывает во всей области ее существования. в)Функция постоянна во всей области ее существования.  г)Функция растет в части области ,а в остальной части-убывает.

21.Каждая из нижеследующих функций ... возрастает,убывает или остается постоянной в интервале ... . Проверь без чертежа,как "ведет" себя каждая функция  в этом интервале.

22.Перед тобой график функции ...   а)Найди координаты точек A и B.  б)Найди интервал,где функция растет.  б)Каков интервал,в котором функция положительна?

/////Запомни!Область существования функции-наибольшая из возможных (обычно

/ / / / /R), и область значений функции-R,если не будет отмечено иначе.

23.Перед тобой график соответствия.Это соответствие между числом оборотов, которое совершило колесо автомобиля с начала движения и давлением воздуха(в атмосферах) в колесе.  а)Расскажи,что описывает график. б)Запиши интервалы,в которых соответствие есть функция. г)Запиши интервалы,в которых функция растет,убывает,постоянна.

24.Камень подброшен вверх с крыши высокого дома.Соответствие ... описывает высоту камня(в м.) как функцию времени(в секундах),которое прошло с момента броска.   а)Какова высота здания?   б)Какой максимальной высоты достиг камень?   в)f(x)=25. Найди соответствующий x не= 0(намек:воспользуйся разложением на множители). г)f(x)=0.Проверь и объясни смысл этого в контексте условий задачи.

д)Вычисли f(1)-f(0),f(2)-f(1).Дай объснение вычислению. е)Найди,сколько метров падал камень в течение третьей секунды полета. Внимание!Ответ не равен 40 м.   ж)Заполни:В течение двух первых секунд скорость подъема камня ___[уменьшается/растет/постоянна].

 

Стр.98-99-100-101-102-103

25.Поставь в соответствие каждому словесному описанию один из графиков.  Функции: 

а)между временем,которое прошло,и длиной горящей свечи;   б)между возрастом человека и его ростом; в)между возрастом человека и его весом; г)между числом кубиков (все одинаковые) и их общим весом;   д)между прошедшим време-нем и расстоянием,которое проехал автомобиль; е)между прошедшим временем и высотой мяча,который подброшен вверх и падает обратно; ж)между положитель-

ным числом и числом,обратным ему; з)между длиной гипотенузы прямоугольного треугольника и наибольшим углом в нем;   и)между длиной пути,по которому катится колесо велосипеда и высотой точки(находится на колесе)над дорогой.

 

26.Нарисуй "эскиз"графика для каждого из следующих соответствий:  

а)Соответствие между возрастом младенца и его весом.  б)Соответствие между числом оборотов колес и путем,который проехал автомобиль.   в)Соответствие между количеством овощей,которое поступило на рынок,и ценой овощей.

27.Перед тобой график,описывающий количество горючего,находящегося в баке автомобиля,как функцию прошедшего времени. Опиши события,которые произошли с автомобилем в различные отрезки времени.

28.Перед тобой чертеж холма. Группа скаутов взошла на холм. Из следующих графиков выбери наиболее подходящий,по твоему мнению,описанию пройденного скаутами расстояния в зависимости от времени с начала подъема и до вершины. Аргументируй свой выбор.

29.Начерти в каждом случае пример графика функции,отвечающей следующим условиям:   а)f(2)=1, f возрастает,когда x<0, f положительна,когда x>-2.   б)g(2)=-3, у g нет нулевых точек, g убывает,когда -2 < x < 2.   в)h - постоянная функция, h(0)=-3.   г)Функция k определена в интервале -4 < x <4, есть у k две нулевые точки,и кроме

них она положительна во всем интервале, k возрастает,когда ...

Тайм-аут

а)Поскольку занимаемся возрастанием и убыванием/Задам-ка я вам загадку./У подножия стены стояла черепаха/И размышляла о своем положении.    б)Стена-гладкое,высокое препятствие./Как перебраться на другую ее сторону? /Прилежная черепаха не стала отчаиваться/И немедленно стала карабкаться.  в)Она подни-мамалась на 1 метр в минуту,/Но стенка была гладкой,/И поэтому она соскаль-зывала назад на полметра,/И это происходило мгновенно.  г)И снова метр в минуту подъема вверх,/И снова на полметра падение вниз./И так этот процесс повто-рялся/До тех пор,пока она достигла вершины стены.  д)И теперь спрашивается,/ Сколько времени черепаха поднималась/К вершине отвесной стены, /Если ее

высота была 5 метров. е)А также вас просят/Начертить соответствующий график.

ИЗБРАННЫЕ ОТВЕТЫ

1. ... г)нет ...к)нет  ... 6. ...в)нет  7. ... в){x|x<-2 или x>2}  ... д)нет  ...   12. ... в){x|x<0 или x>6}  г)нет  ...    15.а){x|x четные} б){x|целые k, ...}    16.а)да ...в)нет ...

17.а)Между 1 и 2,между -1 и -2,между 3 и 4 и между -3 и -4 ...  18. ... в)нет

19. функция|нулевые точки|положит.|отрицат.|растет|убывает|постоян

...21.а)растет;... в)убывает; г)постоянная; ...24. ...и) и уменьш.

ПАРЫ ФУНКЦИЙ

Р а в е н с т в о   ф у н к ц и й

1.Даны графики двух функций f и g, определенных в одной области:... а)Какие значения принимает x,когда f(x)=g(x)?  б)Значение какой из функций больше в точке x=5? А в точке x=-1?   в)Найди множество истинности неравенства ...  г)Найди множество истинннсти неравенства ...   д)Каковы нулевые точки функции f?

е)В каких интервалах функция f положительна?

 

Cтр.104-105-106-107-108-109

2.Найди,если можно,для каждой пары функций источники,в которых обе функции имеют одинаковое отображение.Область определения каждой функции есть R.   Указание:Воспользуйся решением уравнения.

3.Даны три функции:f,g,h,область определения и область значений которых есть R. ...  а)У  двух из функций любой источник дает одинаковое отображение.Найди эти две функции.   б)Измени область определения так,чтобы у всех трех функций каждый источник давал одинаковое отображение.    Определение: Две функции f и g называются равными(тождественными) одна другой тогда и только тогда,когда они определены в одной и той же области и на одной и той же области значений и для каждого x в области определения действует равенство:f(x)=g(x).

4. ... Равны ли функции f и g?Аргументируй.

5.Функция f от длины стороны квадрата есть его периметр. Функция g от произ-вольного числа есть его произведение на 4. Функция h от числа собак (здоровых, нормальных) есть сумма их лап.   а)Запиши представления f,g и h алгебраическим способом. Какие из них тождественны?Объясни.   б)Начерти три эти функции.

(Не забудь про область определения).

6.Даны две функции ...    а)Вычисли f(x) и g(x) для следующих источников: ...   б)Тождественны ли эти функции?

7.Даны две функции ...    а)Вычисли f(x) и g(x) для следующих источников: ...   б)Тождественны ли эти функции?

Ф у н к ц и и , о б р а т н ы е   о д н а    д р у г о й |на твое усмотрение|

8.Перед тобой четыре функции,описанные диаграммами со стрелками.

Область существования    f   Область отображений   ...  а)Измени направление стрелок и преврати область существования в область значений и наоборот. 

-Получилась ли функция после поворота стрелок?   б)Каковы,по твоему мнению, условия получения функций после изменения направления стрелок на обратное?

Определение: Дана функция f. Поставим в соответствие каждому отображению его источник(-и). Если получается функция,то она называется функцией,обратной f.

9.На классной вечеринке играл Дани с товарищами в следующую игру: он просил  выбрать какое-либо число,умножить его на 4,добавить к результату 10 и поделить сумму на 5.Когда ему сообщали окончательный результат,Дани тут же называл выбранное число."Это не бог весть что",-сказали ему друзья и попробовали поис-

кать игры того же рода.  Йоси сказал:Выбери какое-нибудь число,возведи его в квадрат,отними от результата 17,разницу раздели на 2. Попробуем,-сказал Дани.

Я выбрал число и получил[в итоге] 4. Йоси:Ты выбрал 5. Дани:Неверно,я выбрал -5.

Рути сказала:Выбери какое-нибудь число,отними его от 20 и умножь разницу на 3.  Яэль сказала:Выбери какое-либо число,отними от него 2 и разницу умножь на ноль, добавь к результату 7. а)Кто сумел "придумать" хорошую игру,т.е.игру позволяю-щую найти задуманное число?   б)Относительно четырех игр-запиши функции конечного результата от выбранных чисел.  в)Относительно успешных игр-запиши обратные функции,т.е. задуманное число как функцию от результата.

10.Сколько источников должно быть у каждого отображения функции,чтобы существовала у нее обратная функция?

11.Перед тобой графики функций.Для каких из них существует обрат-

ная функция?

12.Заполни: У функции f,область существования которой равна множеству отображений,есть обратная функция тогда и только тогда,когда любая прямая, параллельная оси ___,пересекает f ___ раз(а) максимум.

13.а)Начерти график функции f с областью определения {0,1,2,3},область значений ее равна множеству ее отображений,и она есть ...  в)Начерти в той же системе координат график функции,обратной f.

14.f и g есть функции,обратные одна другой.   а)Точки ... находятся на графике функции f. Какие из следующих точек обязаны находится на графике g? ...  

б)Точка (a,b) находится на графике f.Какие из следующих точек обязаны находится на графике g? ...

15.Перед тобой график функции f.Какой из следующих графиков есть график функции,обратной f.

 

Стр.110-111-112-113-114-115-116-117-118

16,17.Установи график функции,обратной f, среди следующих графиков.

18.Перед тобой график функции f.   а)Скопируй на прозрачную бумагу координат-ные оси и график-без подписей. Обрати внимание,что ось источников более толстая и начерти соответственно. )Положи прозрачную бумагу на чертеж в книжке так, чтобы ось отображений совпала с осью источников и наоборот. Обрати внимание на направления осей!  в)Новый график,полученный в координатах из книги,есть гра-фик функции.Аргументируй!   -Какая связь между этой функцией и функцией f.

19.Вернись к предыдущей задаче со следующими графиками: ...

20.а)Начерти в тетради график функции: ... б)Начерти в той же системе координат график y=x.   в)Начерти в той же системе координат график функции g,обратной f(можешь воспользоваться прозрачной бумагой).  г)Что ты можешь сказать о связи между графиками функции и обратной ей функции относительно прямой y=x.

-Чтобы у функции f была обратная функция,должны выполняться два условия:

а)Область отображений f равняется множеству отображений ее. б)Для каждого отображения есть единственный источник-согласно f.

-Графический способ:любая прямая,параллельная оси x,должна пересекать график функции один раз и не более.   -Обратная функция есть зеркальное отражение f относительно прямой y=x.

УПРАЖНЕНИЯ

Р а в е н с т в о   ф у н к ц и й

1.Даны графики двух функций f и g. ...   Верно или нет? ...  г)Для каждого x>7 справедливо f(x)>g(x). ...  з)В интервале x>3 существует x,для которого ...   и)Если ... ,то x=6.   к)f - функция убывающая для всех x.   л)Когда ... или ... ,то f(x)<0.

2.Найди для каждой пары функций источники,у которых есть одинаковые отображения в каждой из них. Область существования функций есть R.  Указание:Воспользуйся решением уравнения.

*Испытай свои силы

3.Перед тобой графики двух функций f,g(R->R).Найди множество истинности уравнения ... .

4.Для каждой из нижеследующих пар правил соответветствия найди наибольшую область,в которой функции будут равны.

5.Дана функция...  Какие из следующих функций тождественны ей?...

/////Алгебраические выражения не похожи,а в конце концов функции

/////тождественны. Это возможно?

6.Перед тобой пары функций,описываемые графически. Какие из пар функций тождественны одна другой?

7.Найди с помощью упрощений для каждой из следующих функций - тождественную ей в области R(проверь подстановкой одного источника).

Тайм-аут

а)В строфах,которые перед вами,/Мы представим вам соответствия./Пожалуйста, проверьте,/Какие из них тождественны.  б)Нарисуем на листе несколько точек,/И каждую пару соединим отрезком./И теперь мы можем поставить в соответствие/ Числу точек - число отрезков. в)Соответствие второе- легкое,/Осуществляется оно

в многоугольнике./Числу вершин/Поставим в соответствие число диагоналей.  г)Встретились люди на некоей церемонии./Каждые двое пожимали руки. /Число людей поставим в соответствие/Числу рукопожатий. д)Каждый завершающий уче-бу ученик дал/Свое фото  остальным./Числу учеников поставим в соответствие/ Число подаренных фото.  е)В четырех соответствиях/Область существования и область значений есть одинаковые множества./Теперь ответьте на вопрос,

/Который был задан в начале.

8.а)Возможно ли,что у двух различных функций будет один и тот же график? Аргументируй.   б)Возможно ли,что у двух равных функций существуют правила соответствия с неодинаковыми алгебраическими выражениями?Аргументируй.   г)Возможно ли,что у двух различных функций существуют одинаковые алгебраические выражения правил соответствия?Аргументируй.

 

Стр.119-120-121-122-123-124-125-126

9.Для каждой функции из колонки II найди функции тождественные ей в колонке I. Область существования и значения всех функций есть R.    Колонка II      Колонка I

10.Найди тождественную функцию для каждой из нижеследующих функций: (воспользуйся формулами умножения,указанными на чертеже) ...

/////    Степень      Произведение    Итог

12.Дана функция  f : {натуральные числа}->{натуральные числа} ... а)Установи для каждой из следующих функций является ли она тождественной функции f. ...   k : {веществ.числа}->{веществ.числа} ...  б)Начерти график функции f.

Ф у н к ц и и   о б р а т н ы е   о д н а   д р у г о й

13.Относительно каждой из следующих функций:если нет у нее обратной,аргумен-тируй-почему. ...  в)f : {натуральные}->{натуральные}  ... ж)f : {целые}->{целые} ...

14.В каких из следующих систем координатных осей начерчены графики функций, обратных одна другой?

15.Начерти график каждой из функций и график обратной ей функции в той же системе координатных осей(воспользуйся графиком y=x).

 

*Испытай свои силы

16.Докажи,что точки (a,b) и (b,a) симметричны относительно y=x. Указание:Для этого тебе надо доказать,что OC есть срединная высота AB [в треугольнике OAB].

/////Ты учил про функции тождественные и обратные одна другой.

ИЗБРАННЫЕ ОТВЕТЫ

1.а)нет б)да ...  2. ... д)нет ...  3.{целые} ...  8.а)да б)нет  ...  13.а)нет б)да ...

ИТОГОВЫЕ УПРАЖНЕНИЯ ГЛАВЫ

1.Перед тобой список свойств.Для каждого свойства начерти график функции, отвечающей этому свойству.  а)Функция возрастает во всей области ее существо-вания. )Область существования функции не R. в)График функции проходит через начало координат.   г)Функция положительна во всей области ее существования.   д)Функция содержит ...  е)График функции пересекает ось y в точке (0,4). ж)У функции есть нулевые точки.   -Для каждого из свойств,записанных выше,найди алгебраическое представление отвечающей ему функции.

/////Функция соответствует 5 шекелям. 5 шекелей,5 шекелей ...

2.Перед тобой функции частично в алгебраическом и частично в графическом представлениях. а)Запиши для каждой из функций какими свойствами из задачи 1 она обладает.   б)Ты можешь найти среди них равные функции?  в)Можешь ты нарисовать график функции,отвечающей всем этим свойствам? Если да-начерти. Если нет-найди наибольшее число свойств(из списка),согласно которым какая-либо функция могла существовать. ...

3.Функция f   дана с помощью графика. а)Какова область существования функции?   б)Каково множество отображений функции? в)Какие есть источники 4-х?  г)Каков источник с наибольшим отображеним? Каково это отображение?   д)Какие нулевые точки есть у функции?   е)В каких интервалах функция растет?___ В каких убы-вает?___   ж)В каких интервалах функция положительна?   з)В каких интервалах выполняется:... ?   и)Каково множество значений,принимаемых функцией в интер-вале ... . к)Начерти функцию g(f не равна g),отвечающую всем разделам задачи.

 

Стр.127-128-129-130

ГЛАВА 3: ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ

СКОРОСТЬ ИЗМЕНЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ

У г л о в о й   к о э ф ф и ц и е н т   п р я м о й

1.Четыре бегуна вышли на состязание по бегу на 60 м.Перед тобой четыре графика,описывающих пройденное ими расстояние в каждый момент времени.

      Шимон         Реувен

      Йуда          Леви

а)Запишите область определения и множество отображений функций,отвечающих этим графикам.   б)Кто бежал с постоянной скоростью(пробегал одно и то же расстояние) каждую секунду?   в)Кто бежал быстрее всех в начале забега? г)Кто уменьшил скорость перед финишем?   д)Кто увеличил скорость перед финишем?   е)Кто был на середине пути, потратив половину времени забега?   ж)Победил ли

кто-нибудь в состязании?   з)Какой была средняя скорость бегунов?

-Кто бежал с одной и той же скоростью весь путь?

2. Перед тобой график,описывающий измерения температуры больного ребенка в течении пяти часов. На чертеже графика мы оставили "ступеньки". а)Что озна-

чает высота ступени?   б)Заполни следующую таблицу.  

      Час

      Падение температуры

в)Падала ли температура с постоянной скоростью?   г)На сколько в среднем пони-жалась температура каждый час?   д)Если бы температура понижалась(от 39.5 до

37 градусов в течение 5 часов)с постоянной скоростью,каково было бы понижение каждый час? Какова бы была тогда форма графика?

3.а)Перед тобой прямая. Выбери какую-либо точку на прямой. Шагни от нее направо на одну единицу, и поднимись обратно на прямую.Продолжи тем же способом отмечать "ступени". Какова высота каждой ступени?  б) Выбери какую-либо точку на прямой, которая на чертеже. Шагни от нее направо на одну единицу

и опустись назад на прямую.Продолжи тем же способом отмечать" ступени".

Какова высота каждой ступени?       Обрати внимание! Убывание обозначается отрицательным числом.   Ты нашел,что все ступени на прямой а) одинаковой высоты, и также ступени на прямой б) все одной высоты.  Число обозначающее высоту ступени,когда x возрастает на единицу,называется угловым коэфициентом [наклоном] прямой.

4. Перед тобой несколько прямых.   а) У каких прямых угловой коэффициент положительный?А у каких наклон отрицательный. б) Поставь в соответствие

каждой из прямых один из следующих угловых коэффициентов....

Определение:Функция,график которой есть прямая, называется линейной функ-

цией или функцией линеарной (linea-по латински означает прямая линия).

5.Перед тобой график линейной функции f. Какова скорость возрастания функции? Иными словами: на сколько  возрастает координата f(x),когда х увеличивается на одну единицу?   Обрати внимание! Скорость изменения линейной функции равна угловому коэффициента его графика.

6.Заполни с помощью слов: положит.число, ноль, отрицат.число

Угловой коэффициент возрастающей линейной функции есть.....

Угловой коэффициент убывающей линейной функции есть.....

Угловой коэффициент постоянной линейной функции есть.....

7. Дана функция..... Известно,что это линейная функция.   а) Найди

угловой коэффициент графика функции без чертежа.   б) Точка (9,23)

находится на графике функции (проверь). Заполни координаты следую-

щих точек (без подстановки в [формулу] функций:

/////Линейная функция изменяется с постоянной скоростью.Утверждение  это  верно,

/////доказательство с помощью теорем подобия

/////Скоро ты научишься сам решать, какой закон соответствия  есть у линейной функции.

Стр.131-132-133-134-135

8.Дана функция....  Верно или неверно? ... в)Когда x увеличивается на одну единицу,

f(x) возрастает на одну единицу.   г)f изменяется с постоянной скоростью.

9. Перед тобой графики линейных функций.  а) Найди угловой коэффициент каждой прямой.  б) Вычисли отображение 4-х для каждой функции.

/////Изменяется ли функция, не являющаяся линейной, с постоянной скоростью?

В ы ч и с л е н и е  у г л о в о г о  к о э ф ф и ц и е н т а.

С помощью следующих упражнений мы научимся вычислять угловой коэффициент прямой алгебраическим методом.

10. Дана прямая с угловым коэффициентом,равным 3,и точка на ней А(2,1). Из точки А мы продвинулись на 2 единицы вправо,поднялись назад на прямую и достигли точки В. а)На сколько единиц мы поднялись? б) Какие координаты у В?

11. Прямая проходит через точки А(3,1), В(6,13).   а)На сколько подрастает координата x от А к В ?   б)На сколько изменяется координата y от А к В?   в)На сколько изменяется координата y,когда x возрастает на 1 единицу?   г)Каков  угловой коэффициент прямой,проходящей через A и B?

12.Вычисли угловой коэффициент прямой,проходящей через A и B  в  следующих случаях: ...

13.Даны две точки ...  |Обсуждение|   а)Объясни смысл разностей ...

б)Объясни смысл отношения ...

14.Дана линейная функция f и известно,что A(3,7) и C(a,b) есть две точки кривой такие,что a>3. Какие из следующих выражений равны угловому коэффициенту?

/////Обрати внимание! ...    

... Намек:Число верных выражений равно 4.

15.Даны две точки M(a,b),N(c,d) такие,что a не= c. Не известно в каком порядке находятся точки a и c на числовой оси. Возможно ли узнать угловой коэффициент прямой,проходящей через две эти точки? Если да,запиши. Если нет,-обоснуй.

Чтобы вычислить угловой коэффициент прямой,проходящей через точки  ... вычисляем отношение ... или отношение ... . В обоих случаях получается тот же результат(объясни почему).

Определение:Даны две точки в системе координат ... . Обозначим(для краткости):

...  Отношение deltay/deltax называют-разностным отношением двух точек.

16.а)Объясни,почему записываем x1 не= x2 в вычислениях углового коэффициента?   б)Найди в системе координатных осей две такие точки,у которых нет разностного отношения. Найди для каждого из следующих случаев дополнительную точку B,отвечающую: а)Положительному разностному отношению между A и B.  б)Отри-цательному разностному отношению между A и B.   в)Разностному отношению между A и B,равному нулю. г)Отсутствию разностного отношения между A и B.

 / / / / / Для линейной функции f    Угловой коэффициент прямой (графика  f) =

/ ////Cкорость изменения f = Разностное отношение между люой парой точек на /////прямой. Прямая,параллельная оси y, не есть график функции и у нее

///// нет углового коэффициента.

УПРАЖНЕНИЯ

У г л о в о й   к о э ф ф и ц и е н т   п р я м о й

1.Перед тобой две функции,область определения которых ... а)Заполни следую-

щую таблицу ...   б)Поставь в соответствие каждой из функций(f или g) подходя-щие ей свойства. -Растет. -Убывает. -Изменяется с постоянной скоростью. -Ее график не есть прямая. в)Поставь в соответствие одну из функций(f или g)

каждому графику. г)Что есть значения отрезков,подчеркнутых на чертеже.

2.а)Начерти в системе координат прямую,проходящую через точку (2,3) и

имеющую угловой коэффициент,равный 1/2.   б)Начерти в той же системе координат еще две прямые с тем же угловым коэффициентом.

 

Cтр. 136-137-138-139-140

3.Приготовь себе набор,содержащий: а)Систему координатных осей на жестком

трафарете(можешь использовать координатную систему на последней странице книги).   б)Три прямые(полосы прозрачной бумаги,на которых начерчены прямые.   в)Две канцелярские кнопки.  Этот набор будет использоваться тобой для быстрого черчения прямых.  Всякий раз,когда от тебя потребуется воспользоваться набором, мы напишем

"начерти" прямую(вместо-начерти прямую), и тогда ты будешь   должен наложить готовую прямую на готовую систему координатных осей.

4.а)Дана точка A(-4,1). "Начерти" прямую,проходящую через нее. -Можешь ли ты провести через нее еще одну прямую?   б)"Начерти" прямую,проходящую через точку A и имеющую угловой коэффициент,равный 3-м. -Можешь ли ты "начертить" еще одну прямую с теми же данными?   в)Дан угловой коэффициент,равный 1. Сколько существует прямых с таким угловым коэффициентом? Начерти,чтобы дать примеры. г)Сколько прямых из в) проходит через точку (0,4)?   д)Ты учил по

геометрии аксиому,утверждающую,что "через две точки проходит одна и только

одна прямая". Сделай вывод - в соответствии с этой аксиомой и предыдущими разделами - сколько данных необходимо,чтобы получить единственную прямую.

5.Даны следующие пары точек ...   Через каждую пару точек проходит прямая. "Начерти" каждую прямую и найди ее угловой коэффициент.

6.Начерти в одной системе координатных осей прямые в соответствии с угловым коэффициентом,задаваемым переменной m и заданной точкой  ...  -Какая из

прямых является исключением?Почему?

*Испытай свои силы

7.В системе координатных осей,что перед тобой,есть несколько точек Размер

единицы на оси x равен размеру единицы на оси y. Поставь в соответствие каждому угловому коэффициенту - прямую,установленную при помощи пары этих точек. Угловые коэффициенты: ...

8.Для каждой пары прямых - обведи кружком обозначение той,чей угловой коэф-фициент больше.Если угловые коэффициенты равны,обведи кружком обе прямые.

///// Прямоугольная система координат,у которых одинаковая единица на обоих ///// осях,именуется декартовой системой по имени математика Декарта.

9.Даны прямые,установленные с помощью углового коэффициента m и точки A. Найди с помощью вычисления другую точку на каждой прямой ...

10.В системе координатных осей начерчена прямая AB. а)Найди угловой

коэффициент прямой. б)Какие из следующих точек находятся на прямой?

11.Найди с помощью вычисления угловой коэффициент графика каждой из

следующих линейных функций. Указание:Нет нужды упрощать выражения.

В ы ч и с л е н и е   у г л о в о г о   к о э ф ф и ц и е н т а

12.Найди ... (разностное отношение) для следующих пар точек: ...

13.Установи число,которое следует подставить вместо d так,что две точки будут находиться на одной прямой с угловым коэффициентом m. Указание:Воспользуйся решением уравнения. ...

14.В каждой из следующих таблиц даны три пары чисел. Установи с помощью вычисления разностного отношения,соответствуют ли пары в каждой таблице - линейной функции. ...

*Испытай свои силы

15.Установи согласно следующих графиков-угловой коэффициент какой функции наибольший?   наименьший? Обрати внимание на единицы осей координат.

16.Заполни с помощью слов положительно/нуль/отрицательно следующие

утверждения и докажи их.   Разностное отношение  возрастающей функции ____   убывающей функции ___   постоянной функции есть ___  Напомним тебе:Функция растет в определенном интервале,если:для любых двух ... ,принадлежащих  этому интервалу,справедливо ...

17.Начерти точку A(1,2) в системе координат. Найди для каждого из случаев части координатной плоскости,в которых выполняется:а)Разностное отношение между любой точкой и точкой A -положительно. б)Разностное отношение между любой точкой и точкой A-отрицательно. в)Разностное отношение между любой точкой и точкой A есть ноль. г)Нет у точек разностного отношения с точкой A.

Стр.141-142-143-144-145-146

*Испытай свои силы

18.Перед тобой чертеж функции ... в области ... и чертеж ступенек. а)Вычисли высоту начерченных ступенек.   б)Воспользуйся чертежем и вычислением и найди,сколько членов необходимо сложить в последовательности 1,3,5,7,...,чтобы получить 100.Каково последнее число? в)Найди выражение,соответствующее последнему числу: ...  г)Найди быстро сумму нечетных чисел от 1 до 15.

19.|Обсуждение| Дана функция f,график которой не есть прямая. Дано,что ... . Попытайся придать смысл разностному отношению ...

///// Ты учил про скорость изменения функции,угловой коэффициент,

/////  разностное отношение,линейную функцию.

ИЗБРАННЫЕ ОТВЕТЫ

1. ... б)g убывает и изменяется с одной скоростью,f растет и ее график не есть прямая. в)График справа-g: ...  График слева-f: ...   12. ... ж)Не имеет смысла ...  

13. ... е)Нет числа ...   15.Наибольший у "б",наименьший у "а".   18.б)Надо

сложить 10 чисел.Последнее есть 19.  в)Выражение есть ...

ЗАКОН СООТВЕТСТВИЯ ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ

О т   п р я м о й   к   в ы р а ж е н и ю

1.Дана прямая,проходящая через точку A(1,2),угловой коэффициент которой равен 3-м.Найдем правило соответствия функции,графиком которой является прямая.   а)Заполни: -Разностное отношение между любой парой точек на прямой равно ___   -Выберем на прямой произвольную точку ... и представим ее координаты так: ... . Разностное отношение между A и B: ...    б)Покажи,что полученное выражение

эквивалентно выражению ...   в)Полученное выражение есть требуемое правило соответствия функции.Аргументируй! Обрати внимание на то,что выражение справедливо также для x=1.

2.Дана прямая,проходящая через две точки: ...   а)Найди угловой коэффициент прямой.   б)Найди закон соответствия функции,для которой прямая есть график.   Указание:Воспользуйся задачей 1.

3.Дана функция f и известно,что графиком ее является прямая,проходящая через точку ... ,с угловым коэффициентом,равным a. а)Заполни: Для любой точки ... ,отличной от ... ,справедливо: ... б)Покажи,что полученное выражение равносильно выражению ...  в)Удовлетворяет ли точка выражению ...

4.Найди законы соответствия линейных функций,график которых есть прямая,и задан угловой коэффициент и точка A,через которую он проходит.  Указание:

Сделай подстановку в выражение,которое было получено в задаче 3б и упрости. 

-Какова общая форма всех законов соответствия,которые ты нашел?   -Разве для каждого углового коэффициента и для каждой точки будет получен закон в той

же форме?     Если f есть линейная функция,то закон соответствия ее имеет вид ...

О т   ф о р м у л ы   к   п р я м о й

В предыдущем разделе мы видели,что если функция линейная,то закон ее соответ-ствия имеет вид ... Можно рассматривать закон соответствия вида ... как уравнение  с двумя переменными первой степени ...  Выше в процессе обучения ты видел с помощью подстановки точек и чертежа,что график уравнения первой степени с двумя переменными есть прямая. Т.е.:любая функция ... вида ... является линейной.

///// ... есть закон соответствия линейной функции,а доказательство

///// ,для самостоятельного чтения,на стр.160

Обрати внимание!Начиная с этого момента и далее будем писать знак

соответствия функции либо в форме ... ,либо в форме ...

5.В каких из следующих функций имеет место закон соответствия ли-

нейной функции? Указание:Проверь-можно ли привести их к виду ...

Г р а ф и ч е с к и й   с м ы с л  "a"

6.Дана линейная функция ...   A и B - две произвольные точки на ее графике.  а)Вырази координаты точек A,B и C,показанных на чертеже,посредством ... .   б)Вырази AC посредством ... .  в)Вырази BC посредством ....   г)Вырази разностное отношение между A и B и упрости выражение. -Каков угловой коэффициент  графика функции?  д) С помощью а)-г) можно доказать теорему:"Угловой коэффициент графика линейной функции вида ... есть a".Аргументируй-почему?

7.Дана функция ... .   а)f-линейная функция?  б)Каков угловой коэффициент графика f?   в)Каково разностное отношение между двумя любыми точками на графике f?

8.Даны две линейные функции: ...   а)Докажи алгебраическим путем,что у графиков этих функций нет общей точки.   б)Заполни:Графики f и g ___(пересекаются/ параллельны/совпадают).

9.Даны две различные линейные функции ...  а)Попытайся найти на их графиках общую точку.  б)Заполни:Графики данных функций__(параллельны/пересекаются).

 

Стр.147-148-149

Г р а ф и ч е с к и й   с м ы с л "b"

10.Найди точки,в которых графики следующих функций пересекают ось x и ось y.

11.Вырази с помощью a и b точки,в которых график функции ... пересекает ось x и ось y.

12.Запиши три различных линейных функции,графики которых встречаются в

одной точке на оси y. -Что общего в выржениях трех функций,которые ты записал?

-Закон соответствия линейной функции имеет вид ... , верно также обратное,что если закон соответствия функции есть ... ,то она линейная.   -Угловой коэффициент графика такой функции равен a. -Когда дано a(или когда можно найти его) и дана точка ... ,через которую проходит график,можно найти закон соответствия по разнос

тному отношению ...   -Различным линейным функциям с одинаковым угловым коэффициентом a соответствуют параллельные прямые. -График функции вида ... пересекает ось y в точке y=b.

13."Начерти" график функции ... согласно точке ее пересечения с осью y и угловому коэффициенту.   б)Запиши линейную функцию,график которой проходит через точку (0,5) и ее угловой коэффициент есть -3.

*Испытай свои силы

14.Даны две линейные функции ... и ... . Известно,что их графики пересекаются осью x в ее отрицательной части.   а)Исследуй связь между b и d. Указание:Проверь случаи ...   б)Дано,что b>d. Исследуй связь между a и  c.

15.Вернись к задаче 14,когда известно,что графики пересекаются осью x с положительной стороны.

/////                    Можно доказать в геометрии

///// Разностное отношение между    < - >   Функция линейная,а это

///// двумя точками на графике -                значит,что ее графиком

///// величина постоянная                          является прямая

/////  Мы доказали ^                                                    ^

/ / / / /   в алгебре      |->    Функция вида ...         <-| Поэтому

УПРАЖНЕНИЯ

О т   п р я м о й   к   в ы р а ж е н и ю

1.Найди алгебраические выражения для следующих функций,если известно,что их график есть прямая: а)Прямая проходит через точку (2,2) и ее угловой коэффициент 1/2   б)Прямая проходит через точки ... в)Прямая проходит через точку (-3,-4) и образует угол,равный 45 градусам с положительным направлением оси x.   г)Прямая проходит через точку (2,2) и отсекает от осей равные отрезки,длина которых не равна нулю.   д)Две прямые проходят через точку (3,1) и отсекают от осей равные отрезки.   е)Прямая параллельна оси x и проходит через точку (-1,-2).   ж)Прямая проходит через начало координат и угловой коэффициент ее равен 5.

2.Найди алгебраическое выражение для функции,график которой есть следующая прямая: ...

*Испытай свои силы

3.Найди функцию f,переводящую температуры,данные по шкале Фаренгейта,в температуры по шкале Цельсия,в соответствии с точками замерзания и кипения в двух шкалах. Известно,что закон соответствия имеет вид ...  По шкале Цельсия:вода замерзает при температуре 0 градусов и кипит при 100 градусах. По шкале Фаренгейта:вода замерзает при 32 градусах,а кипит при 212 градусах.

 

Стр.150-151-152-153

О т   в ы р а ж е н и я   к   п р я м о й

4.Перед тобой функции из упражнения 11 на стр.138. Покажи,что они линейные. Указание:Приведи функции к виду ...

5.Какие из следующих функций,как прявило,имеют закон в форме линейной функции(т.е.вида ...)   а)Соответствие между числом полок(x) в книжном шкафу и

числом книг в нем.   б)Соответствие числа единиц счетчика(x) в телефонных

разговорах,которые состоялись в течение месяца,месячной плате.  в,г,д)Соответствие между длиной(x) стороны квадрата и его периметром/его площадью/длиной его диагонали. е)Соответствие между длиной(x) одного из катетов равнобедренного

прямоугольного треугольника и площадью квадрата,построенного на его гипотенузе.   ж)Соответствие между числом(x) и противоположным ему [числом].   з)Соответствие между отличным от нуля числом(x) и обратным ему. и)Соответствие между положи-тельным числом(x) и корнем [квадратным] из него.   к)Соответствие между разме-ром(x) рубашки и ее ценой.   л,м)Соответствие между углом при вершине(x) равнобедренного треугольника и углом при основании/суммой его углов. н)Соот-ветствие между углом(x) при основании равнобедренного треугольника и углом при вершине.   о,п)Соответствие между длиной(x) стороны прямоугольника и его периметром,когда длина второй стороны равна 5 см./больше на 5 см. длины первой стороны,обозначенной x. р)Соответствие между числом купленных мешков цемента(x) и платой за них,включая постоянную плату за перевозку.

6.Найди,если можно,число,при подстановке которого вместо d получится линейная функция. ...

7.Перед тобой несколько уравнений первой степени. Вырази,если можно,законы соответствия функций,которые скрыты в уравнениях.

Пример: Уравнение ...   Закон соответствия ... или ...

8.а)Начерти две прямые,которые не являются графиками функции. б)Запиши уравнение,соответствующее любой из этих прямых.

9.а)Вырази в явной форме,если можно,следующие уравнения(запиши их в форме ...).   б)Какие из этих уравнений могут служить законами соответствия функции? Запиши для них наибольшую возможную область существования.   в)Какие из этих функций линейные?   г)У каких из соответствий графиком является прямая линия.   д)Дано уравнение ... . При каком условии это уравнение сможет описать закон соот-

ветствия функции.

Г р а ф и ч е с к и й   с м ы с л   "a"

10.Установи без подстановки в функцию и без чертежа,чему равен угловой коэффициент каждой из следующих линейных функций: ...

11.Дана линейная функция,у которой a равняется нулю. Что ты можешь сказать о графике этой функции?

12.Найди отображение 1-ы для каждой из следующих линейных функций: ...   "Начерти" график каждой функции соответственно точке (1,_) и угловому коэффициенту, проверь этот "чертеж" с помощью отыскания дополнительной точки на графике каждой функции.

13."Начерти" графики следующих функций с помощью нахождения двух точек. ... Убедись,что угловой коэффициент прямых,которые ты "начертил" соответствует угловому коэффициенту (a),данному в выражениях.

14.Параллелограмм это такой четырехугольник,у которого каждая пара противополо-жных сторон параллельна. Даны две линейные функции ... . Запиши еще две линей-ные функции так,чтобы графики четырех функций образовали параллелограмм.

15.Дан прямоугольник,у которого стороны параллельны координатным осям.Что ты можешь сказать об угловых коэффициентах прямых,на которых лежат стороны прямоугольника.

 

Стр.154-155-156-157-158-159-160

16.Для каждой функции f найди функцию g такую,что графики двух этих функций есть параллельные прямые. Запиши соответствующие буквы в таблицу снизу и получишь имя математика,который занимался функциями. ...

17.Даны пары уравнений,выражающих законы соответствия линейных функций. Относительно каждой пары проверь являются ли графики прямых параллельными,и если нет - найди точку пересечения. ...

18.Поставь в соответствие каждому графику линейную функцию из списка снизу. ...

19.Перед тобой чертеж графиков: ...  а)Какой из графиков соответствует какой функции? Аргументируй.   б)Найди координаты точек ...

20.Перед тобой чертеж графиков: ...   а)Какой график соответствует какой из функций?Аргументируй.   б)Найди координаты точек ... . в)BC параллельна оси x. Найди длину отрезка CB.

Г р а ф и ч е с к и й   с м ы с л   b

21.Определи с какой стороны пересекают графики следующих функций каждую ось(положительную или отрицательную часть осей).Аргументируй свое определение. Указание:Нет нужды в вычислениях. ...

22.Определи из выражения точку и угловой коэффициент и "начерти" графики следующих линейных функций без вычисления. ...

23.а,б)Может ли ось x/y представлять график линейной функции?Если да,то каковы будут a и b?

24.Запиши линейную функцию по точке и угловому коэффициенту. ...

25.Запиши линейную функцию по двум точкам. ...

26."Начерти" прямые,проходящие через следующие пары точек.Определи по "чертежу" a и b и запиши линейную функцию для каждой пары точек. ... Проверь каждую функцию,которую ты записал,подстановкой точек.

27.Диагонали ромба лежат на оси x и оси y системы координат и их длина равна, соответственно,4 и 6 единицам.Запиши функции,соответствующие сторонам ромба.Обрати внимание!Диагонали ромба делят друг друга пополам.

28."Начерти" прямые,у которых задан угловой коэффициент a и которые проходят через заданную точку A. Установи по "чертежу" параметр b и запиши для каждой прямойлинейную функцию. ...

29.Найди линейную функцию,график которой пересекается с графиком функции ... на оси y и параллелен графику функции ...

30.Перед тобой графики линейных функций вида ...   а,б)Найди пары функций с одинаковым a/b.

31.а)Начерти график функции ...   б)Начерти в той же системе координат график функции g,для которого выполняется ...

32.На чертеже графики функций: ...  а)Определи график каждой из функций.  б)Прямые CD и EF параллельны оси y, а прямая AE параллельна оси x. Найди координаты точек ... .   в)Найди длины отрезков ...

Д л я   т в о е г о   у д о в о л ь с т в и я

33.Начерти и удостойся. Начерти систему координат размером в страницу тетради. Каждая единица соответствует одной клетке. На черти в этой координатной системе графики следующих функций:   Указание:Черти сперва прямые карандашом. После этого подними цветом отрезки,соответствующие области существования функции. ...

Верный чертеж удостоит тебя благословения.

Д л я   с а м о с т о я т е л ь н о г о   и з у ч е н и я

Теорема:Если функция ... имеет вид ... ,то она линейная и угловой коэффициент ее графика есть a.          Дано: ...

Треб.док. : График f - прямая,т.е. скорость изменения f постоянна.

Доказательство: Выберем две различных произвольных точки ... на графике f.  ...   A и B различные точки,поэтому   ...  и можно сократить на   ...    Мы нашли,что скорость изменения постоянна и не зависит от избранных точек.Т.е. для любых двух точек,которые будут избраны,мы получим,что скорость изменения функции есть a и поэтому график есть прямая и угловой коэффициент его есть  a.   Что и треб.док.

 

Стр.161-162-163-164-165

ИЗБРАННЫЕ ОТВЕТЫ

... 6. ... е,з)любое число ... м)нет ...   27.Одна из функций ...

 

ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ В ПОВСЕДНЕВНОЙ ЖИЗНИ

Во многих случаях закон соответствия линейной функции является моделью, доста-точно близкой к действительности,поэтому многие явления в повседневной жизни мы описываем с помощью закона вида ...

1.Положим,что при подогревании воды в котле соответствие между временем подогрева и температурой воды имеет вид ... Начали подогревать воду из крана от температуры 20 градусов и до кипения ее.Каждую минуту температура поднималась на

2 градуса.   а)Сколько минут подогревали воду до кипения?   б)Запиши область существования,область значений и закон соответствия функции температуры в градусах Цельсия(y) от времени подогрева в минутах(x).   в)Какой будет температура воды через полчаса подогрева?  г)Опиши функцию графически.

2.Следующий график есть график функции количества воды в литрах,находящейся в водяном котле,соответствующей времени в минутах(x).а)Каково выражение, соответ-ствующее графику?Что представляют собой a и b?   б)Какое количество воды будет в котле через 2.5 минуты?5 минут?   в)Через сколько минут в котле будет 550 литров воды? г)Объем котла равен 1000 литров,и в момент наполнения кран закрывается автоматически.Запиши область существования и множество отображений,соответ-ствующих функции.

3.Во многих странах,и Израиль в их числе,принято использовать термометр,калибро-ванный по шкале Цельсия.Есть также страны,в которых используют термометр, калиброванный по шкале Фаренгейта.Функция ... ставит в соответствие темпера-туру, данную в градусах Цельсия(C),той же температуре в градусах Фаренгейта(F). Одно из применений этой функции имеет место на кухне,когда печка градуирована по шкале Фаренгейта(F),а в рецепте пирога приведена температура в градусах

Цельсия(C).   а)Вода превращается в лед при 0 градусов C и кипит при 100 градусах C.Вырази температуры замерзания и кипения воды в градусах Фаренгейта.Сколько градусов по Фаренгейту между этими двумя температурами?   б)Какой смысл чисел 9/5 и 32 в этой функции? в)Какая температура выражается посредством одного и того же числа в обеих шкалах?   г)Наименьшая возможная температура равна -273

градусов C.Эта температура называется абсолютным нулем.Вырази ее по шкале Фаренгейта.   д)Запиши область существования этой функции.

*Испытай свои силы

4.Предположим,что нефтяное пятно в форме круга распространяется в море таким образом,что его радиус возрастает с постоянной скоростью. Корабль выбросил круглое пятно нефти радиусом 3 м. Радиус пятна растет со скоростью 0.5 м. в час.  а)Найди закон соответствия функции от времени(x) в часах с момента возникно-ения пятна,соответствующий его площади.Запиши также соответствующие область определения и область значений.   б)Разве закон,который ты записал,есть закон соответствия линейной функции?

///// Площадь круга найдешь с помощью следующей формулы ... ,где

///// ... (приблизительно) и R есть радиус круга.

УПРАЖНЕНИЯ

1.а)Запиши функцию соответствия длины стороны равностороннего треугольника в см.(x) его периметру в см.(y).Не забудь записать область существования и область отображения.   б)Опиши функцию с помощью графика.

2.Атмосфера есть единица измерения давления.На любое тело,находящееся на уровне моря,действует давление,равное одной атмосфере.(Это давление, проис-текающее от слоя воздуха,окружающего земной шар).Когда погружаются в глубину моря,появляется дополнительное давление воды. Положим,что с погружением на 10 м. под воду давление растет на одну атмосферу(приблизительно).   а)Запиши функцию(область существования,область отображения и закон соответствия)дав-ления в атмосферах(y) от глубины воды в метрах(x).   б)Какому давлению подвер-гается тело,находящееся на глубине 5 метров.   в)На какой глубине находится

тело,на которое действует давление 1.25 атмосфер?   г)Начерти график функции.   д)Два тела находятся в море.На тело "a" действует давление больше на 1/2 атмосферы,чем на тело "b".Какова разница в глубине между двумя телами?

3.Грели чайник с водой.Температура воды возрастала со скоростью 20 градусов в минуту.Перед тобой график функции соответствия времени подогревания в минутах  (x) - температуре воды в чайнике. а)Обозначь единицу на оси y.  б)Какой была тем-пература воды в начале разогревания.   в)Запиши правило соответствия функции.

 

Стр.166-167-168

4.Перед тобой график,описывающий высоту воды(в см.) в сосуде как функцию от

количества ее(в см.куб.).   а)Заполни закон соответствия функции ...   б)Какая форма у сосуда?

5.Предположим,что автомобиль потребляет постоянное количество горючего на каждый км.Предположим,что функция соответствия расстояния в км.(x),которое проехал автомобиль,-количеству горючего в литрах(y),которое осталось в баке: ...   Ее область сущетвования: ... а)Какое количество горючего останется в машине после поездки на 60 км.?   б)Какой смысл числа 20 в выражении?   в)Какое количество го-

рючего потребляет автомобиль на 1 км. пути?   г)Сколько км. проезжает автомобиль на 1 литре горючего?