Make your own free website on Tripod.com

בני גורן. גיאומטריה של מישור

לתלמידי בתי ספר תיכוניים ולנבחנים חיצוניים

Бени Горен. Геометрия на плоскости.

Предназначена ученикам средних школ и экзаменующимся у внешних экзаменаторов.

Предисловие

Эта книга содержит в себе весь учебный материал по геометрии на плоскости в соответствие с учебной программой Минпроса. Это, в основном, книга упражнений, но в ней содержатся также все теоремы и все определения. Ее отличие от других книг по геометрии в том, что сразу после любой теоремы в ней идут упражнения, решение которых опирается на эту теорему. Это сделано для облегчения в преподнесении материала и выборе упражнений. В первом упражнении после формулировки теоремы необходимо ее доказать. За сложной теоремой следует соответствующая инструкция.

Важно отметить, что учиться по этой книге можно в любых учебных классах средней школы(общеобразовательных и профессиональных). Разумеется, книга предназначена и учащимся средних школ, которые готовятся к экзаменам на аттестат зрелости или к заключительным экзаменам. Она годится и тем, кто готовится в течение краткого времени к внешним экзаменам на аттестат зрелости.

Книга состоит из пяти частей: 1).Треугольник. 2).Четырехугольники. 3).Окружность. 4).Площади. 5).Пропорция и подобие. Задачи на построение находятся в отдельных главах. В конце каждой части имеется глава, целиком посвященная задачам построения, базирующимся на материал предыдущих глав этой части.

Большое внимание в книге уделено распределению упражнений по уровням трудности. Упражнения, помеченные одной звездочкой(*), это немного более сложные задачи. А те, что помечены двумя звездочками(**), являются особенно сложными упражнениями. Почти каждое упражнение и каждая теорема сопровождаются чертежем для облегчения понимания. Но есть упражнения без иллюстраций, это сделано для того, чтобы сами ученики поупражнялись в черчении согласно данным. Всем вычислительным упражнениям даны ответы. Эти ответы к упражнениям, идущим следом за определенной теоремой, помещены всегда перед следующей теоремой или следующим определением. Благодарности и пожелания ...

Бени Горен

 

Часть первая. Треугольник

Глава 1. Отрезки и углы

Отрезок. Базовые понятия: точка, прямая, плоскость. Определения: a).Прямая, ограниченная точкой с одной стороны, называется лучом. b).Часть прямой, ограниченной точками с двух сторон, называется отрезком.

1).(Рис. 1)На отрезке АЕ(см. рис.) отмечены 4 отрезка. Вырази одним отрезком следующие суммы и разности отрезков: a).AB + BC; b).BC - CD; c).BD + DE; d).AE - AB; e).AD - BD + BC; f).AB + BC + CD; g).AC - AB + CD; h).CE - DE + BC.

2).(Рис. 2)На рисунке дано, что точка D есть середина отрезка АС, а точка С - середина отрезка DB. a).Докажи, что AD = CB; b).Дано, что DB = 12 см. Вычисли длину отрезков АС и АВ.

3).(Рис. 3)На рисунке дано: AD = 4 см, DB = 8 см. Вычисли длину отрезка DC.

4).(Рис. 4)На рисунке дано, что точка С есть середина АВ, а точка D - середина АС. Обозначим АВ = a. Вырази с помощью a длины отрезков CB, DC, DB.

5).(Рис. 5)На рисунке дано: AD = 14 см, АВ = CD, DC = AB/3. a).Вычисли длину отрезка ВС. b).Дано: ED = (3/5)BE. Вычисли длину отрезка ED.

6).(Рис. 6)На рисунке дано: AC = BD. a).Докажи: AB = CD; b).Дано, что Е середина AD и CD < EC. Докажи: ED < BC.

Ответы. 1).a).AC; b).BC; c).BE; d).BE; e).AC; f).AD; g).BD; h).BD. 2).b).АС=12 см, АВ=18 см.

3).2 см. 4).CB = a/2, DC = a/4, DB = 3a/3. 5).a).2 см. b).3 см.

 

Угол. Определение. Два угла, исходящие из одной точки, образуют фигуру, которая называется углом. Лучи именуются сторонами угла, а точка - его вершиной.

Примечание.Два луча, исходящие из одной точки, образуют два угла: для одного продолжения его сторон через вершину находятся за пределами угла, а для другого - продолжения его строн остаются внутри угла. Если не говорится иначе, имеется ввиду угол, продолжения сторон которого находятся вне его.

7).(Рис. 7)Вырази как один угол сумму или разность следующих углов:

a). BAC + CAD; b). CAE + EAF; c). CAF - EAF; d). CAD + DAF - EAF;

e). BAC + CAD + DAE; f). BAF - EAF - DAE.

8).(Рис. 8)На рисунке дано: DBC = EBA. Докажи: EBC = DBA.

9).(Рис. 9)На рисунке дано: BAC = CAD, FAC = EAD. Докажи: a). BAF = CAE; b). FAE = CAD.

10).(Рис. 10)На рисунке дано: ABD = EBC. a).Докажи: ABE = DBC. b).Обозначим EBC = a, DBC = b. С помощью a и b вырази следующие углы: ABE, EBD, ABD, ABC.

Ответы. 7).a).BAD; b).CAF; c).CAE; d).CAE; e).BAE; f).BAD.

10).ABE = b, EBD = a - b, ABD = a, ABC = a + b.

Определение. a).Угол, величина которого равна 1/360 части угла, стороны которого совпадают друг с другом(а продолжения их находятся внутри угла), называется углом в один градус. b).Угол, величина которого равна 1/60 части градуса, называется минутой.

11).Вычисли: a).1232 + 1528; b).3215 + 6153; c).1846 + 5237; d).4815 - 2137; e).90 - 2841; f).23147; g).2832 : 2; h).5312 : 2.

12).(Рис. 11)Дано: BAC = DAF = 55, CAD = EAF = 25. Найди следующие углы: BAD, DAE, BAE, CAE, BAF.

13).(Рис. 12)На рисунке дано: DAF = 50, BAD = 65, EAF = DAE = CAD. Вычисли следующие углы: DAE, CAF, BAC, BAE.

Ответы. 11).a).28; b).948; c).7123; d).2638; e).6119; f).6334; g).1416; h).2636.

12).BAD = 80, DAE = 30, BAE = 110, CAE = 55, BAF = 135.

13).DAE = 25, CAF = 75, BAC = 40, BAE = 90.

Биссектриса угла. Определение. Луч, который исходит из вершины угла и делит его на два равных угла, назывется биссектрисой угла.

14).(Рис. 13)На рисунке дано: BAC = 25, CAE = 55, AD - биссектриса угла BAE. Вычисли CAD.

15).(Рис. 14)На рисунке дано: AD - биссектриса угла CAE, AC - биссектриса угла BAE, BAD = 45. Найди углы: CAD, BAC, BAE.

16).(Рис. 15)На рисунке дано: AC, AD, AF - биссектрисы, соответственно, углов EAB, CAB, EAD. Обозначим DAE = a. Через a вырази углы CAB, DAB, EAF, FAC.

Ответы. 14).15. 15).CAD = 15, BAC = 30, BAE = 60. 16).CAB = a/2, DAB = a/4, EAF = 3a/8, FAC = a/8.

Развернутый угол и прямой угол. Определения. a).Угол, две стороны которого находятся на одной прямой, называется развернутым(180). b).Биссектриса развернутого угла делит его на два равных угла, каждый из которых называется прямым (90).

17).(Рис. 16)Дано: B является прямым углом. ВЕ - гипотенуза угла B, EBD = CAD. Определи углы ABD, DBC.

18).(Рис. 17)На рисунке дано: ABC = 90, EBD = 90. a).Докажи: DBC = ABE. b).Дано: DB - гипотенуза угла ABC. Найди угол EBC.

19).(Рис. 18)На рисунке дано: ABC = 90, BE - биссектриса угла. Обозначим DBC = a. Через a вырази углы EBD, FBE, EBC.

Ответы. 17).ABD = 6730, DBC = 2230.18).b).135. 19).EBD = 45 - a/2,

FBE = 135 - a/2, EBC = 45 + a/2.

Острый угол и тупой угол. Определения. a).Угол, который меньше прямого, называется острым. b).Угол, который больше прямого, назывется тупым.

20).(Рис. 19)На рисунке дано: ABC = 90. a).Докажи: ABD + CBE = 90. b).Найди на рисунке два острых угла(аргументируй). c).Найди два тупых угла таких, что каждый из них меньше 180. d).Найди на чертеже два тупых угла таких, что каждый из них больше 180.

21).(Рис. 20)На рисунке дано, что АВ - биссектриса угла EBD и также ABC = 90. a).Докажи: FBE = DBC. b*).Дано: ABD < DBC. Докажи: угол EBD - острый.

Ответы. 20).b).ABD, CBE; c).DBC, ABE; d).DBC(больший), ABE(больший).

Смежные углы. Определение. Два угла, у которых одна сторона - общая, а две других находятся на одной прямой, называются смежными(дополнительными до 180).

22).(Рис. 21)На рисунке даны смежные углы a и b. Найди их в каждом из следующих случаев: a).a больше чем b на 20. b).a больше чем b в 3 раза. c).b равен половине a. d).b меньше чем a в 1.5 раза.

23).a и b - смежные углы, не равные друг другу. Докажи, что один из них острый, а другой - тупой.

24).Дан произвольный угол a. Найди два смежных с ним угла и докажи, что они равны.

25) этом упражнении даны отношения двух смежных углов. Вычисли эти углы: a).5:7; b).5:1; c).7:3; d).11:4.

26).Найди три угла, дополнительных до 180, если они относятся друг к другу как: a).2:3:5; b).5:6:7; c).11:2:2; d).2:3:7.

27).Даны три угла, дополнительных до 180. Первый ко второму относится как 1:6, а второй к третьему как 1:2. Найди эти углы.

28).(Рис. 23)АВ и АС - биссектрисы, соответственно, углов a и b, смежных друг другу. Найди угол между двумя биссектриссами(докажи свой ответ).

29).(Рис. 24)OB, OD и OF - биссектрисы, соответственно, углов СОА, ЕОС и ЕОG. Вычисли сумму углов О1 + О3 + О5 .

Ответы.22).a).80, 100. b).45, 135. c).60, 120. d).72, 108. 25).a).75, 105; b).150, 30; c).126, 54; d).132, 48. 26).a).36, 54, 90. b).50, 60, 70. c).132, 24, 24. d).30, 45, 105. 27).12, 24, 144. 28).90. 29).90.

Вертикальные углы. Определение. Две пересекающиеся друг с другом прямые образуют четыре угла; каждые два из них, не являющихся смежными, называются вертикальными. Теорема (1): Каждые два вертикальных угла равны друг другу.

30).(Рис. 24)Докажи теорему (1). Даны две пересекающиеся прямые. Требуется доказать: a = b. Указание: обозначь угол b и используй сумму двух смежных углов.

31).(Рис. 25)На рисунке даны две пересекающиеся прямые. Найди в каждом из следующих упражнений остальные 3 угла, если дано, что величина угла a: a).35; b).90; c).60; d).X.

32).(Рис. 26 а, b)Найди угол Х на следующих рисунках(все углы в градусах).

33).(Рис. 27)На рисунке обозначены два прямых угла и угол 35. Найди углы a, b, g.

34).(Рис. 28)Вычисли сумму углов 1 + 2 + 3 на рисунке(аргументируй).

35).(Рис. 29)Отрезок FG на рисунке есть биссектриса угла ЕВА. Докажи: FG делит пополам и угол DBC.

36).(Рис. 30)На рисунке дано: ЕО есть биссектриса угла ВОА. Докажи: точки F, O, E лежат на одной прямой. Указание: требуется доказать, что угол ЕОF - развернутый.

Ответы.31).a).145, 35, 145; b).90, 90, 90; c).120, 60, 120; d).(180 - X), X, (180 - X).

32).а).70. b).80. 33). a = b = 55, g = 35. 34).180.

 

Глава 2. Равенство(конгруэнтность) треугольников

Определение треугольника. Определения: a).Несколько отрезков, не лежащих на одной прямой и соединенных один за другим, образуют ломаную линию. b).Замкнутая ломаная называется многоугольником, ее отрезки - сторонами, а края отрезков - вершинами. c).Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной стороне, называется диагональю. d).Многоугольник с 3-мя сторонами называется треугольником. e).Многоугольник с 4-мя сторонами называется четырехугольником.

Виды треугольников согласно их сторон. Определения: a).Треугольник, у которого все стороны равны друг другу, называется равносторонним. b).Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным. Две равные стороны называются боковыми, а третья сторона - основанием. Углы, лежащие против боковых сторон, называются углами при основании, а угол, лежащий против основания, называется углом при вершине. c).Треугольник, у которого все стороны различны, называется разносторонним.

Виды треугольников по их углам. Определения: a).Треугольник, у которого все углы острые, называется остроугольным. b).Треугольник, у которого один угол прямой, называется прямоугольным. Стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а сторона, лежащая против прямого угла, - гипотенузой. c).Треугольник, у которого есть один тупой угол, называется тупоугольным.

Биссектриса угла в треугольнике. Определение: Отрезок, соединяющий вершину треугольника с противолежащей стороной и делящий угол при вершине пополам, называется биссектрисой угла треугольника.

1).(Рис. 1)BD и СЕ - биссектрисы углов В и С треугольника АВС(В1=В2, С1=С2). Дано В + С = 110. a).Вычисли В2 + С2. b).Обозначим В = b. Вырази через b углы В1, С, С1.

2).(Рис. 2)СЕ и BD - биссектриссы углов треугольника АВС. a).Дано С < В. Докажи, что С1 < В1. b).Дано В = 2С2, В + С2 = 100. Вычисли углы В, С, С2, В + С1, В1 + С.

Ответы.1).a).55. b).В1 = b/2, С = 110 - b, С1 = 55 - b/2. 2).В = 80, С = 40, С2 = 20, В + С1 = 100, В1 + С = 80.

Медиана(делитель пополам) в треугольнике. Определение: Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны, называется медианой.

3).(Рис. 3)На рисунке дано: AE - медиана стороны ВС треугольника АВС. BD = 4 см, DC = 12 см. Вычисли длину стороны ЕС и докажи, что AD есть медиана стороны ВЕ треугольника АВЕ.

4).(Рис. 4)Отрезок AD на рисунке есть медиана стороны ВС. Периметр треугольника ACD равен 16 см, а периметр треугольника ABD равен 14 см. Найди, на сколько больше сторона АС стороны АВ(аргументируй).

5).(Рис. 5)Треугольник ABC - равнобедренный(АВ = АС), а его периметр равен 20 см. BD - медиана боковой стороны АС. Вычисли длину боковой стороны, если периметр треугольника ABD на 4 см больше периметра треугольника BDC.

6).(Рис. 6)Треугольник ABC - равнобедренный(АВ = АС), CD и АЕ - медианы.

Дано: BD = AE. a).Докажи: треугольник ABC - равносторонний. b).Дано: AD = 3 см. Вычисли периметр треугольника АВС.

Ответы. 3).8 см. 4).2 см. 5).8 см. 6).b).18 см.

Высота в треугольнике. Определение: Отрезок, соединяющий вершину треугольника с противолежащей стороной или продолжением стороны и перпендикулярный ей, называется высотой. Примечание: В остроугольном треугольнике все высоты находятся внутри него; в прямоугольном треугольнике две высоты совпадают с катетами; в тупоугольном треугольнике две высоты проходят за его пределами.

7).(Рис. 7)На рисунке дано, что отрезок AE перпендикулярен отрезку ВС (АЕ ^ ВС). Найди на рисунке 6 треугольников, для которых АЕ есть высота к одной из сторон (запиши треугольник и сторону, к которой АЕ является высотой).

8).(Рис. 8)Дано: В = 90. Найди на рисунке 5 таких треугольников(возможно, что один треугольник появится дважды), у которых одна из сторон и высота представлены на чертеже(запиши треугольник, сторону и высоту к стороне).

9).(Рис. 9 треугольнике ABC проведены 3 отрезка AD, AE и AF. Согласно данным установи, какой из них является медианой, какой - высотой, а какой - биссектрисой угла. Свой ответ аргументируй. Данные: (1)EAF+FAC = BAD+DAE; (2)BD+DF=FC; (3)BDA = ADC.

Ответы.7).DABE, BE; DABD, BD; DAED, ED; DAEC, EC; DABC, BC; DADC, DC. 8).DABC, BC, AB; DABC, AB, BC; DABD, BD, AB; DABD, AB, BD; DACD, CD, AB.

9).AF - медиана, AD - высота, AF - биссектрисса.

 

Равенство треугольников. Определение: Два треугольника, у которых равны, соответственно, 3 стороны и 3 угла, называются равными(@) треугольниками.

Первая теорема равенства треугольников(сторона, угол, сторона). Если у двух треугольников равны соответственно две стороны и угол между ними, то треугольники равны друг другу. Примечание: Первая теорема равенства принимается как аксиома(без доказательства).

10).(Рис. 10)На рисунке дано: АВ = ВС, В1 = В2. Докажи: DABD @ DBCD.

11).(Рис. 11)Дано: АС = СЕ, ВС = СD. a).Докажи: DABC @ DCDE. b).Равен ли угол A углу E или углу D? Аргументируй.

12).(Рис. 12)Дано: E1 = C1 , BE = CD, AC = EF. Докажи: DABC @ DDEF.

13).(Рис. 13)На рисунке дано: BCD = ACE , AC = CE, BC = CD. Докажи: A = E. 14).(Рис. 14)Дано: ACD = 90, CE = BC, AC = CD. Докажи: a).DABC @ DECD. b).AEF=B.

15).(Рис. 15)На рисунке дано: AB=CD, DCB=ABC. Докажи: a).AC=BD. b).ABD=ACD.

16).(Рис. 16)На рисунке дано: AC = AB, AD=AE. Докажи: a).DABD@DACE. b).DCE=DBE.

17).(Рис. 17)На рисунке дано: A1 =C1, AB = DC. a).Докажи: AD = BC. b).Дано: E - середина BC, F - середина AD. Докажи: FC = AE.

18).(Рис. 18)На рисунке дано: AC = CD, BC = EC, AF = DG. Докажи: a).AB=ED. b).FB=EG.

19).(Рис. 19)Дано: AD = CF, A = F, AB = EF. Докажи: a).DABC @ DEF. b).BD = CE.

Вторая теорема равенства треугольников(угол, сторона, угол). Если у двух треугольников равны соответственно сторона и два прилежащих ей угла, то эти треугольники равны друг другу.

20*).(Рис. 20)Докажи вторую теорему равенства. Дано: АВ = DE, А = D, В = E. Требуется доказать: DABC @ DDEF(см. следующее указание). Указание(доказательство от противного).Пусть EF < BC(или BC < EF). Тогда существует точка K на BC(или на ее продолжении) такая, что BK=EF. Воспользуйся первой теоремой равенства и докажи, что DABK @ DDEF. Отсюда получается, что D < А(или D > А) - противоречие.

21).(Рис. 21)На рисунке дано: a = b, АD = DB. Докажи: DDAC @ DEBD.

22).(Рис. 22)Дано: ВС = DE, В = C , D1 = E. a).Докажи: DABD @ DСEF. b).Равняется ли сторона AD сторонам EF или CF? Аргументируй.

23).(Рис. 23)Дано: DCB = ABC, B1 = C1. Докажи: DCDB @ DABC.

24).(Рис. 24)Дано: AB = BC, A = C. Докажи: a).AE = DC. b).OC = OA.

25).(Рис. 25)На рисунке дано: AC = CE, A = E, BF - биссектриса угла B и GD биссектриса угла D. Докажи: a).DABC @ DCDE. b).FB = GD.

26).(Рис. 26)Дано: AD - биссектрисса угла BAC, a = b, E - точка на продолжении AD. Докажи: a).DABD @ DADC. b).BE = EC.

27).(Рис. 27)Дано: BD - биссектрисса угла ABC, AC - биссектрисса угла BCD, ABC = BCD. Докажи: a).AC = BD. b).OA = OD.

28).(Рис. 28)Дано: ВC=BD, B - середина AE, CBE = ABD. Докажи: a).AC=DE. b).AK=NE.

Третья теорема равенства треугольников(сторона, сторона, сторона). Вспомогательная теорема. Углы при основании равнобедренного треугольника равны между собой.

29).(Рис. 29)Докажи вспомогательную теорему. Дано: АВ = АС. Требуется доказать:

В = С. Указание.Проведи AD - биссектрису А .

Третья теорема равенства треугольников. Если у двух треугольников равны соответственно три стороны, то треугольники равны друг другу.

30*).(Рис. 30)Докажи третью теорему равенства. Дано: АВ = DE, BC = EF, AC = DF. Требуется доказать: DABC @ DDEF. Указание. Построй треугольник DEF так, чтобы сторона EF совпала со стороной BC. Докажи с помощью вспомогательной теоремы, что A = D(рассмотри 3 случая: AD проходит внутри треугольника ABC, AD проходит через B, AD проходит вне треугольника АBC). Затем воспользуйся первой теоремой равенства треугольников.

31).(Рис. 31)Дано: АB = BD, AC = CD. Докажи: DABC @ DBCD.

32).(Рис. 32)Дано: AD = BC, DB = AC. Докажи: D = C.

33).(Рис. 33)Дано: AF = CD, AB = EF, BC = ED. a).Докажи: DCDB @ DABC. b).Найди, какому углу в треугольнике АВС равен угол D. Аргументируй.

34).(Рис. 34)На рисунке дано: AD = CF, DE = BC, AB = EF. Докажи: a).EDF = ACB. b).DB = EC.

35).(Рис. 35)На рисунке дано: AB = DC, AD = BC. a).Докажи: FBC = ADE. b).Дано: DE = BF; докажи, что AE = FC.

36).(Рис. 36)На рисунке дано: AD = BC, AC = BD, DAE = CBF. Докажи:

a).ADE = BCF. b).AE = BF.

37).(Рис. 37)На рисунке дано: AC = CE, AB = AD = DE, BAC = E. Докажи: a).C1 = C3. b*).C2 = 60.

Равнобедренный треугольник

Определение: В равнобедренном треугольнике две стороны равны друг другу(см. типы треугольников по их сторонам, стр. 20). Примечание: Углы при основании равнобедренного треугольника равны друг другу(см. вспомогательную теорему, стр. 29).

Теорема (1). В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при вершине является также медианой и высотой основания.

38).Докажи теорему (1). Указание. Нарисуй соответствующий чертеж, напиши, что дано и что требуется доказать.

39).Докажи: в равнобедренном треугольнике медиана основания является также биссектрисой угла при вершине и высотой основания.

Теорема (2). Если в треугольнтке биссектриса угла совпадает с высотой, то этот треугольник - равнобедренный.

40).(Рис. 38)Докажи теорему (2). Дано: A1=A2, D1=90. Требуется доказать: АВ = АС.

41).Докажи: если в треугольнике медиана совпадает с высотой, то это - равнобедренный треугольник.

42).(Рис. 39)Треугольник АВС на рисунке - равнобедренный(АВ = АС). Дано: BD = EC. Докажи: DABD = DAEC.

43).(Рис. 40)На рисунке дано: AB = AC, DAB = CAE. Докажи: a).DB = CE. b).D = E.

44).(Рис. 41)Треугольник АВС на рисунке - равнобедренный(АВ = АС), AD - биссектриса A, O - произвольная точка на этой биссектрисе. Докажи: BO = OC.

45).(Рис. 42)На рисунке дан равнобедренный треугольник АВС(АВ = АС). AD - медиана основания ВС. О - точка на продолжении AD. Докажи, что треугольник ВОС - равнобедренный.

46).(Рис. 43)Треугольник АВС - равнобедренный(АВ = АС). Дано: AD = AE, точка F есть середина ВС. Докажи: треугольник DEF - равнобедренный.

47).АВС - равнобедренный треугольник(АВ = АС). Из точки F, находящейся на АВ, провели перпендикуляр к АВ, а из точки Е, находящейся на АС, провели перпендикуляр к АС. Два этих перпендикуляра пересекаются в точке D, которая находится на основании ВС. Дано: BF = EC. a).Докажи: FD = DE. b).K - точка между F и А, а N - точка между Е и А . Дано: FK = EN. Докажи: DK = DN.

48).(Рис. 44)Треугольник АВС - равносторонний. a).Докажи: A = B = С. b).Дано:

BD = AE = CF. Докажи: треугольник EFD - равносторонний.

49).(Рис. 45)Докажи: в равнобедренном треугольнике медианы к боковым сторонам равны друг другу. Дано: АВ = АС, AD = DB, AE = EC. Требуется доказать: DC = BE.

50).(Рис. 46)Докажи: в равнобедренном треугольнике биссектриссы углов при основании равны друг другу. Дано: АВ = АС, B1 = B2, C1 = C2. Требуется доказать, что DC = BE.

51).(Рис. 47)Треугольник АВС - равнобедренный(АВ = АС), CE перпендикулярно AD, ACE = DCE. Докажи: AB + BC = BD.

52).(Рис. 48 равнобедренном треугольнике АВС(АВ = АС) отрезок FC перпендикулярен BD и делит его пополам(BE = ED). Докажи: AD + BC = AB.

53).(Рис. 49)АЕ и DC - биссектриссы углов A и C в равнобедренном треугольнике ABC(AB = AC). Дано: EK = EN. Докажи: C1 = C3.

54).(Рис. 50)Данные на рисунке: AK = AN, E - середина KN и AD перпендикулярно BC. Докажи: KB = NC.

55).(Рис. 51)Треугольник АВС - равнобедренный(АВ = АС), BD - медиана боковой стороны АС, а ED перпендикулярно этой стороне. Докажи: DC = (EC + EB)/2.

Дальтон

Определения: (Рис. 52) a).Четырехугольник, составленный из двух равнобедренных треугольников с общим основанием назвается дальтоном(AB = AD, BC = CD). b).Диагональ АС, которая соединяет две вершины, находящиеся между равными сторонами, называется главной диагональю. Другая диагональ BD называется второстепенной. Два угла А и С, заключенные между равными сторонами, называются углами при вершине. Примечание: Существует два вида дальтонов: a).Два равнобедренных треугольника находятся по обе стороны общего основания. b).Два равнобедренных треугольника находятся по одну сторону общего основания.

Теорема (3) (теорема дальтона). Главная диагональ дальтона: a).делит пополам углы при вершине; b).делит пополам второстепенную диагональ; b).перпендикулярна второстепенной диагонали.

56).(Рис. 53)Докажи теорему (3). Дано: АВ = AD, BC = DC. Требуется доказать:

a).A1 = A2, C1 = C2. b).BO = OD. c).O1 = O2 = 90.

57).(Рис. 54)На рисунке дано, что АС - биссектриса углов А и С. Докажи: ABCD есть дальтон.

58).(Рис. 55)На рисунке дано: АС ^ Bd, BO = OD. Докажи: ABCD есть дальтон.

59) четырехугольнике ABCD диагональ АС является биссектрисой угла А и перпендикулярна диагонали BD. Докажи: ABCD есть дальтон.

60).(Рис. 56)Четырехугольник ABCD на рисунке есть дальтон(AB = AD, BC = CD). Дано: AE = AF. Докажи: четырехугольник AECF тоже является дальтоном.

61).(Рис. 57)ABCD есть дальтон. BF и ED - два равных друг другу отрезка, лежащие на второстепенной диагонали. Докажи: AECF - дальтон.

62).(Рис. 58) K и L - точки на главной диагонали дальтона ABCD. Дано: BN = MD. Докажи: KNLM - дальтон.

 

Глава 3. Стороны и углы треугольника

Внешний угол треугольника. Определение: Угол, смежный внутреннему углу треугольника, называется его внешним углом.

Теорема (1). Внешний угол треугольника больше каждого из двух других его внутренних углов, которые не являются смежными этому углу.

1*).(Рис. 1)Докажи теорему (1). d - внешний угол треугольника АВС. Требуется доказать: d > a, d > b. Указание. Проведи медиану ВЕ и продли ее на величину своей длины (ЕВ = ЕF). Докажи: a = ЕСF и получи a < d.

2).(Рис. 2)a).Докажи: если в треугольнике есть прямой угол, то это его наибольший угол. Дано: С = 90. Требуется доказать: С > А, С > В. Указание. Рассмотри внешний угол у вершины С. b).Докажи утверждение a для тупого угла.

3).(Рис. 3)a).Докажи: углы при основании в равнобедренном треугольнике - острые. Дано: АВ = АС. Требуется доказать: В < 90, С < 90. Указание. Рассмотри внешний угол у вершины С. b).Докажи: сумма двух углов треугольника меньше 180.

4).(Рис. 4)D - произвольная точка на стороне АС треугольника АВС. Докажи: А < BDC.

5).(Рис. 5)D - точка внутри треугольника АВС. Докажи: А < BDC.

6).(Рис. 6)На рисунке дано: АВ = АС, D - произвольная точка на стороне АВ.

Докажи: АDC > ACB.

7).(Рис. 7)На рисунке дано: В1 = С. Докажи: a).В1 < D1. b).С < D2.

8).(Рис. 8)Докажи, что на рисунке выполняется: a).b < a. b).d < d. c).b < g.

Стороны и углы треугольника.

Теорема (2). Если одна сторона треугольника больше другой, то угол, лежащий против большей стороны, больше угла, лежащего против меньшей стороны.

9).(Рис. 9)Докажи теорему (2). Дано: АВ < AC. Требуется доказать: С < B. Указание. Отложи AD = AB тогда В1 < D1), D1 - внешний для треугольника BDC.

10).(Рис. 10)На рисунке дано: АВ < AD. Докажи: В1 < B2, С < B2.

11).(Рис. 11)На рисунке дано: А1 = B, BC < AB. Докажи: В < С.

12).(Рис. 12)Четырехугольник АВСD на рисунке есть дальтон(АВ = AD, BC = DC). Дано: ВС < AB. Докажи: А < С. Указание. Проведи диагональ АС.

13).(Рис. 13)На рисунке дано: АВ = АС, DC < AD. Докажи: А < С.

Теорема (3). Против равных углов треугольника лежат равные стороны.

14).(Рис. 14)Докажи теорему (3). Дано: В = C. Требуется доказать: АВ = АС. Указание(доказательство от противного). Предположи, что AC < AB (или АВ < AC) и покажи на основе теоремы (2), что это невозможно.

15).a).DC и ВЕ, биссектрисы углов С и B треугольника АВС, пересекаются в точке О. Дано: ВО = ОС. Докажи: треугольник АВС - равнобедренный. b).Докажи: если в треугольнике биссектриса является также медианой, то он - равнобедренный. Указание. Продли медиану на ее длину.

16).(Рис. 15)Треугольник АВС - равнобедренный(АВ = АС). Дано: В1 = Е1. Докажи: треугольник CDE - равнобедренный.

17).(Рис. 16)На рисунке дано: DF = AE, AC = DB, D = САЕ. Докажи: Треугольник АВС - равнобедренный.

18*).(Рис. 17)DE и FE - перпендикуляры, соответственно, к сторонам ВС и АВ треугольника АВС. GD перпедикулярен DE. Дано: DE = FE, GDA = FED. Докажи: треугольник АВС - равнобедренный.

Теорема (4) (обратная теореме (2)). Если один угол треугольника больше второго угла, то сторона, лежащая против большего угла, больше стороны, лежащей против меньшего угла.

19).(Рис. 18)Докажи теорему (4). Дано: С = В. Требуется доказать: АВ < АС. Указание(доказательство от противного). Предположи: AC = AB (или АС < AD) и получи с помощью теоремы (2) противоречие.

20).(Рис. 19)На рисунке дано, что AD - высота к стороне ВС. a).Докажи: DC < AC, BD < AB. b).Докажи: высота к одной стороне меньше полусуммы длин двух других сторон. Указание. Требуется доказать: AD < (AB + BC)/2.

21).(Рис. 20)Треугольник АВС - прямоугольный (B = 90). D и Е - произвольные точки на катетах ВС и АВ, соответственно. Докажи: ED < AD < AC.

22).(Рис. 21)На рисунке дано: ВАС = 90. Докажи: a).AD < DB. b).AC < AD.

23).(Рис. 22)На рисунке дано: АВ = АС, А1 < В. Докажи: a).DC < DB. b*).BC < DC.

24).(Рис. 23)На рисунке дано: ВС < АВ. a).Докажи: DC < AD. b*).Верно ли также обратное утверждение, т.е. что из DC < AD вытекает BC < AB?

25).(Рис. 24)На рисунке дано, что треугольник АВС - равнобедренный(АВ=АС). D - точка за пределами треугольника такая, что отрезок DC сечет сторону АВ. Докажи: DB < DC.

26).(Рис. 25)На рисунке дано: В1 < С. Докажи: a).AB < AC. b).AD < AB. c).BD < BC.

27*).(Рис. 26 четырехугольнике ABCD дано: BC < AB, C < A. Докажи: AD < DC.

28*).(Рис. 27)Треугольник АВС на рисунке - равнобедренный(АВ = АС). Е - точка между В и С, D - точка на продолжении ВС. Докажи: a).AE < AC. b).AC < AD.

29*).(Рис. 28)На рисунке дано: AD - медиана стороны ВС, А1 < А2. Докажи: AB < AC. Указание. Продли AD на его длину от точки D.

30).(Рис. 29)BD и DC - биссектрисы углов В и С, соответственно. Дано: AC < AB. Докажи: DC < BD.

31).(Рис. 30)На рисунке дано, что AD - биссектриса угла А(А1 =А2).

Докажи: DC < AC, BD < AB.

32*).(Рис. 31)Отрезок AD на рисунке есть биссектриса угла EDC(D1 = D2).

Докажи: ED < BD.

Сумма двух сторон треугольника

Теорема (5). Сумма двух сторон треугольника больше третьей стороны.

33).(Рис. 32)Докажи теорему (5). Дано: АС - наибольшая сторона треугольника АВС. Требуется доказать: АВ + ВС > АС. Указание. На продолжении АВ отложи отрезок BD, равный ВС. Докажи: D < ACD.

34) следующих упражнениях даны в см длины 5 отрезков. Найди, какие 3 отрезка из пяти заданных можно использовать в качестве сторон треугольника (напиши все возможности). a).8, 7, 5, 3, 2; b).6, 4, 2, 2, 2; c).2, 4, 3, 6, 6 .

35) следующих упражнениях даны в см длины двух сторон треугольника. Найди третью сторону, если ее длина есть целое число. a).0.8, 1.7; b).1.2, 1,9; c).2, 1.

36).a).Одна из сторон равнобедренного треугольника равна 12 см. Длина второй стороны 24 см. Какая из них - основание, а какая - боковая сторона? Аргументируй. b).Периметр равнобедренного треугольника равен 18 см. Одна из сторон больше другой на 3 см. Найди боковые стороны и основание треугольника(сделай различие между двумя случаями). c).Периметр равнобедренного треугольника равен 27 см. Одна из сторон больше другой на 9 см. Найди стороны треугольника.

37).Найди, возможно ли, чтобы стороны треугольника находились в таких отношениях: a).1 : 2 : 3; b).2 : 5 : 7; c).2 : 6 : 7; d)8 : 4 : 5 .

38).(Рис. 33)D есть произвольная точка на стороне АС треугольника АВС.

Докажи: BD + DC < AB + AC.

39).(Рис. 34)Треугольник АВС на рисунке - равнобедренный(AB = AC).

Докажи: AC + AE < BC + CE.

40).(Рис. 35)На рисунке дано: ВЕ - медиана стороны АС треугольника ABC, А = С1 .

Докажи: BD + DC < BE + EC.

41).(Рис. 36)А - точка на отрезке DC. Дано: АВ = АС, AD = AE.

Докажи: a).BE < DC. b).DC > (BC + DE)/2.

42).(Рис. 37)На рисунке дано: BD - биссектриса В, СВ < AB. Докажи: DC+BC < AD+AB. Указание. Отложи ВС на АВ от точки В.

43).a).Докажи: любая сторона треугольника меньше половины его периметра. Указание. Доказывай с помощью алгебраического вычисления(воспользуйся теоремой (5)). b*).Дана точка внутри треугольника. Докажи: сумма ее расстояний до вершин меньше периметра треугольника и больше половины этого периметра. c).Докажи: сумма диагоналей четырехугольника меньше его периметра.

44).(Рис. 38)Докажи: медиана стороны треугольника меньше половины суммы двух других его сторон. Дано: BD = DC. Требуется доказать: AD < (AB + AC)/2.

Указание. Продли медиану на ее длину от точки D.

45*).(Рис. 39)Треугольник АВС - равнобедренный(АВ = АС). Продолжение отрезка DA делит пополам угол, внешний его углу А (А1 = А2). Докажи: AB < (DB + DC)/2. Указание. На продолжении АВ отложи отрезок АЕ, равный АВ, и соедини Е с D.

Ответы.34).a).(2, 7, 8), (3, 5, 7), (5, 7, 8), (3, 7, 8). b).(2, 2, 2). c).(6, 6, 3), (6, 6, 4), (6, 6, 2), (3, 4, 6), (3, 4, 2). 35).a).1, 2. b).1, 2, 3. c).2. 36).a).12, 24, 24. b)4, 7, 7 или 8, 5, 5. c).3, 12, 12. 37).a).Нет. b).Нет. c).Да. d).Да.

Теорема (6). Любая сторона треугольника больше разности длин двух других сторон.

46). Докажи теорему (6). Указание. Докажи ее с помощью алгебраического вычисления(воспользуйся теоремой (5)).

47).(Рис. 40 четырехугольнике ABCD дано: AD = 6 см, DC = 5 см, АВ = 7 см, ВС = 9 см. Докажи: a).4 < DB < 13. b).2 < AC < 11.

Четвертая теорема равенства треугольников(сторона, сторона, угол). Если у двух треугольников равны соответственно две стороны и угол против большей из двух сторон, то треугольники равны.

48**).(Рис. 41)Докажи четвертую теорему равенства треугольников. Дано: АВ = ЕD, BC = EF, BC < AB,(EF < ED), C = F. Требуется доказать: DABC = DEDF(см. следующее указание). Указание(доказательство от противного). Пусть DF < AC(или DF > AC). Отложи CN = DF. С помощью первой теоремы равенства треугольников: DBNC = DEFD, отсюда AB = BN(т.е. BAN = BNA). Докажи: C < A помощью внешнего угла). Тогда ВС < AB - противоречие.

Следствие четвертой теоремы равенства треугольников. Два прямоугольных треугольника равны друг другу, если у них равны гипотенузы и какие-нибудь катеты.

49).Докажи следствие четвертой теоремы равенства треугольников.

50).Докажи(не опираясь на равенство углов при основании): в равнобедренном треугольнике высота основания является также биссектриссой угла при вершине и медианой основания.

51).(Рис. 42)На рисунке дано: B = D = 90, AB = AD. Докажи: a).BC = DC. b).AC - биссектриса углов C и A.

52).(Рис. 43)Докажи: если в треугольнике две высоты равны друг другу, то он равнобедренный. Дано: BE = DC, AB^DC, AC^BE. Требуется доказать: AB = AC.

53).(Рис. 44)Дано: AB = AC = CD, AE = BD. Докажи: EB = BC.

54*).(Рис. 45)Точка N есть середина стороны ВС. Точка K находится между N и B. Дано: KC = BD, BK = EC, K1 = E1.Докажи: треугольники АВС и DKE - равнобедренные.

55*).(Рис. 46)На рисунке дано: AB = AC = CD = CE, K1 = N1, AK = CN.

Докажи: a).KC = DN. b).A1 = C1 + D = 180.

56*).(Рис. 47)На рисунке дано: ADC = B, BC = CD = CE. a).Докажи: A1 = A2. b).Найди на рисунке треугольник, у которого есть 2 стороны и угол, равные двум соответственным сторонам и углу треугольника АВС, но не равного ему.

c).B = E = 180.

Проекция

Определения. Даны прямая и точка вне ее. Из точки опускаем перпендикуляр на прямую. a).Любой отрезок, соединяющий точку и прямую и не перпендикулярный прямой, называется наклонным. b).Отрезок прямой между перпендикуляром из точки и концом наклонного отрезка назывется прекцией наклонной на прямую.

Теорема (7). Если из точки вне прямой исходят две наклонные равной длины, то и их проекции равны.

57).(Рис. 48)Докажи теорему (7) (см. на предыдущей стр.). Дано: AB = AC, AD^BC. Требуется доказать: BD = DC.

Теорема (8) (обратная теореме (7)). Если проекции двух наклонных(из одной точки) равны, то и сами наклонные равны.

58).Докажи теорему (8) Указание. Изобрази нужный рисунок, напиши, что дано и что требуется доказать.

Теорема (9). Если проекция одной наклонной больше проекции второй наклонной(исходящей из той же точки), то первая наклонная больше второй.

59*).(Рис. 49)Докажи теорему (9). Дано: BD < DC, AD^BC. Требуется доказать: AB < AC.

Указание. Отложи DE, равное BD.

Теорема (10)(обратная теореме (9)). Если одна наклонная больше другой(исходящей из той же точки), то проекция первой наклонной больше проекции второй наклонной.

60*).Докажи теорему (10). Указание. Доказательство от противного.

 

Глава 4. Параллельные прямые

Виды углов между прямыми. Определения(Рис. 1). Даны две прямые, пересекаемые третьей прямой. a).Два угла, находящиеся по одним сторонам обеих прямых и по одну сторону третьей прямой, называются соответственными. На рисунке это: 1 и 5, 2 и 6, 3 и 7, 4 и 8. b).Два угла, находящиеся по разные стороны от двух прямых и не по одну сторону третьей прямой, называются накрест лежащими. На рисунке это: 1 и 7, 2 и 8, 3 и 5, 4 и 6. c).Два угла, находящиеся по разные стороны от двух прямых и по одну сторону третьей прямой, называются односторонними(внутренними или внешними). На рисунке это: внешние - 1 и 8, 2 и 7, внутренние - 4 и 5, 3 и 6.

Теорема (1). Даны две прямые, пересекаемые третьей прямой. Если существует одна пара равных соответственных углов, то: a).все другие пары соответственных углов равны; b).все пары накрест лежащих углов равны; c).сумма всех пар односторонних углов равна 180.

1).(Рис. 2)Докажи теорему (1). Дано: 1 = 5. Напиши, что нужно доказать и докажи.

Параллельные прямые. Определение. Две непересекающиеся прямые называются параллельными.

Теорема (2). Даны две прямые, пересекаемые третьей. Если существует: a).одна пара равных соответственных углов, или b).одна пара равных накрест лежащих углов, или c).одна пара односторонних углов, сумма которых равна 180, - то прямые параллельны.

2*).(Рис. 3)Докажи теорему (2) для случая равенства пары накрест лежащих углов. Дано: a = b. Требуется доказать: a || b(a параллельно b). Указание(доказательство от противного). Пусть a и b пересекаются в точке С. Тогда a есть внешний угол треугольника АВС, получается противоречие равенству a = b.

3).(Рис. 4a - 4f)Найди, являются ли прямые a и b в следующих упражнениях параллельными. Аргументируй.

4).(Рис. 5a - 5d)Найди пары параллельных прямых на следующих рисунках. Аргументируй.

5).(Рис. 6)Треугольник АВС - равнобедренный(АВ = АС). Дано: DE = DC. Докажи: AB || DE.

6).(Рис. 7)На рисунке дано: АВ = АС, EC = ED. Докажи: AB || DE.

7).(Рис. 8)Треугольник АВС - равнобедренный(АВ = АС). a).Дано: D1 = C1. Докажи: ED || BC. b).Дано: ВАС + В = BCF. Докажи: BD || CF.

8).(Рис. 9)На рисунке дано: BD - биссектриса D, AD = AB. Докажи: AB || DC.

9).(Рис. 10)Отрезок BD есть медиана стороны АС треугольника АВС. Дано: BD = DE (DE есть продолжение BD). Докажи: AE || BC.

10).(Рис. 11)На рисунке дано: AE = CF, AB = DF, BC = ED. Докажи: ED || BC, AB || DF.

11).(Рис. 12)На рисунке дано: CD = BC, AC = EC, FBC = A. Докажи: FB || ED.

Ответы. 3).a).Да. b).Да. c).По теореме (2) нельзя узнать(нет). d)Не дано узнать. e).Да. f).Да. 4). a).a || b, c || d. b).a || c, b || d. c).a || b, a | c, b || c, d || e. c).a || b, d || e.

Аксиома параллельности. Через точку, находящуюся вне данной прямой, можно провести одну единственную прямую, параллельную данной.

Теорема (3) (обратная теореме (2)). Даны две параллельные прямые и третья прямая, которая их пересекает. Тогда: a).любые 2 соответственных угла равны; b).любые 2 накрест лежащих угла равны; c).сумма любых 2 односторонних углов равна 180.

12*).(Рис. 13)Докажи теорему (3). Дано: A || B. Требуется доказать: a = b(два накрест лежащих угла равны). Указание(доказательство от противного). Предположи, что a > b (или a < b), тогда можно провести прямую c, образующую с прямой d угол g такой, что g = b. Воспользуйся теоремой (2) и докажи, что c || b. Отсюда получится противоречие с аксиомой параллельности. (Равенство остальных углов получается с помощью теоремы (1)).

13).(Рис. 14a, 14b)Прямые a и b на следующих рисунках параллельны друг другу. Найди связь между углами a и b в каждом упражнении. Аргументируй.

14).(Рис. 15a - 15f следующих упражнениях даны две параллельные прямые и третья прямая, секущая их. Найди угол Х (аргументируй свой ответ, все углы в градусах).

15).(Рис. 16)На рисунке дано: a || b, b || c. Докажи: a || c. Указание. Проведи прямую, пересекающую все три прямые.

16).(Рис. 17a - 17e, 17f*)Прямые a и b - параллельны, найди Х.

17).(Рис. 18)На рисунке дано: a || b, c ^ a. a).Докажи: c ^ b. b).Дано: d ^ b. Докажи: d || c.

18).(Рис. 19)На рисунке дано: a || b, c и d - биссектрисы А и В. Докажи: c || d.

19).(Рис. 20)На рисунке дано: a || c, b || d. a).Докажи: a = b. b*).Дано: e и f - биссектрисы углов a и b. Докажи: e || f.

20).Докажи: углы, стороны которых соответственно параллельны, равны друг другу или их сумма равна 180. Случай a(Рис. 21).Дано: AC || BD, AE || BF. Требуется доказать: A = B. Случай b(Рис. 22).Дано: AC || BD, AE || BF. Требуется доказать: A+B = 180.

21).(Рис. 23)Треугольник АВС - равнобедренный(АВ = АС). Дано: DE || BC. Докажи: треугольник ADE - равнобедренный.

22).(Рис. 24)На рисунке дано: AB || ED, AC = CD. Докажи: EC = CB.

23).(Рис. 25).На рисунке дано: отрезок AE параллелен АС и является биссектрисой DAC. Докажи: треугольник АВС - равнобедренный.

24).(Рис. 26)На рисунке дано: АВ перпендикулярно CD, AD = CB, AO = OB. a).Докажи: AD || BC. b).Дано: AF - биссектриса C и также BE || AF. Докажи: ВЕ - биссектриса В.

25).(Рис. 27)Данные на рисунке: EF || AD, FB = FC, BE = EC. Докажи: a).AD - высота на сторону ВС треугольника АВС. b).BOD = EFC.

26).(Рис. 28)Треугольник АВС - равнобедренный(АВ = АС). AD - высота на ВС. EF параллельно АВ. Докажи: a).Треугольник AFG - равнобедренный. b).AB = AF + FE.

27).(Рис. 29)BE и EC - биссектрисы B и C соответственно - пересекаются в точке Е. Через Е проходит отрезок DF, параллельный BC. Докажи: a).BD=DE. b).DF=BD+FC.

Ответы.13).a). a = b; b).a + b = 180. 14).a).X = 36; b).105; c).45; d).100; e).10; f).40. 16). a).80; b).75; c).50; d).25; e).75; f).70.

Сумма углов треугольника

Теорема (4).Сумма внутренних углов треугольника равна 180.

28).(Рис. 30)Докажи теорему (4). Требуется доказать: a + b + g = 180. Указание. Проведи через А линию, параллельную ВС.

Следствие из теоремы (4).Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, которые не смежны с ним.

29).a).Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 110. Вычисли угол при основании. b).Угол, внешний углу при вершине равнобедренного треугольника, равен 150. Вычисли углы треугольника. c).Угол, внешний углу при основании равнобедренного треугольника, равен 160. Вычисли углы треугольника.

30).Найди углы треугольника, если они относятся друг к другу как: a).3:4:5; b).1:2:3; c).3:3:4; d).2:7:9.

31).Найди углы треугольника, если: a).в прямоугольном треугольнике один из острых углов в 4 раза больше другого; b).в равнобедренном треугольнике угол при вершине на 30 больше каждого из углов при основании; c).в равнобедренном треугольнике угол при вершине равен сумме углов при основании.

32).Найди углы треугольника, если: a).угол, внешний углу при основании равнобедренного треугольника, на 60 больше угла, внешнего углу при вершине; b).угол, внешний углу при вершине равнобедренного треугольника, на 55 больше каждого из углов при основании.

33).Докажи: если в равнобедренном треугольнике один из углов равен 60, то он - равносторонний(разбери два случая).

34).(Рис. 31)На рисунке дано: AD = AC = CB, CAD = 60. Вычисли B и BAD.

35).(Рис. 32)На рисунке дано: AB = AC, B = 40, BD = BC. Вычисли A и B2.

36).(Рис. 33a - 33f)На следующих треугольниках есть отрезки - биссектриссы (равные углы помечены черточками) и отрезки - высоты(отмечены прямые углы). Найди a и b.

37).(Рис. 34)На рисунке дано: DE || BC. a).Докажи: B + D = EAC. b).Дано: AD = AF, EAC = 90. Докажи: AFE = C.

38).(Рис. 35)На рисунке дано: AC = AB, D = 2B.

a).Докажи: ED || AC. b).Дано: D + C = 75. Определи углы треугольника АВС.

39).(Рис. 36)На рисунке дано: AB = AC, AD - биссектрисса CAE. Докажи: AD || BC.

40).(Рис. 37)Треугольник АВС - равнобедренный(АВ = АС). ED ^ BC. a).Докажи: треугольник AEF - равнобедренный. b).Соедини B и F. Докажи: BFD > DFC.

41).(Рис. 38)Дано на рисунке: BD = DC, AB = AD, ABC = 75. Определи C. Указание. Обозначь C = X и вырази ADB, ABD и ABC через Х.

42).(Рис. 39)Треугольник АВС - равнобедренный(АВ=АС). Дано: BD=AD=DC. Найди B.

43).(Рис. 40)На рисунке дано: ABC = 105, AB = AE, BE = ED, BD = DC. Вычисли C.

44).(Рис. 41)Дано: AB = AC, BC = CD, ABD = 15. Вычисли A.

45).(Рис. 42)На рисунке дано: BC = BD, A = 45, BD - биссектриса B. Вычисли C.

46).(Рис. 43)Дано на рисунке: AD = DB = BC, а также AB = AC. Докажи, что BD есть биссектриса B и вычисли A.

47).АВС есть равнобедренный треугольник (АВ=АС). Из точки F на боковой стороне АВ возвели перпендикуляр к АВ, секущий основание ВС в точке Е, а продолжение боковой стороны АС - в точке D. Дано: EC = CD. Вычисли A.

48).(Рис. 44)На рисунке дано: AB = AC, AD = DF, EC = FC. a).Докажи: ADF = 3F. b).Вычисли B.

49).(Рис. 45)На рисунке дано: BD = AD = AE = EC. a).Докажи: A1 = A3.

b).Дано: A1 = A2. Вычисли A.

50).(Рис. 46)На рисунке дано: AB=AC, EB=BC, ED=DC, A=40. Вычисли ADE и DBC.

51).(Рис. 47)На рисунке дано: AB = AC, EB = BD, E = A., BD - гипотенуза АВС. Вычисли А.

52).(Рис. 48)Дано: AB = BE, BE - биссектриса ABC. a).Докажи: ADC = 3ABE. b).Дано: C = 90, A1 = 15. Вычисли ABD.

53).(Рис. 49)BD и EC - биссектрисы B и C, соответственно. Дано: A = 70. Вычисли BOC. Примечание. Треугольник не является равнобедренным.

54*).(Рис. 50)На рисунке дано: A = 80, DB и DC - биссектрисы внешних углов, смежных углам В и С(В1 = В2, С1 = С2). Вычисли D.

55*).(Рис. 51)На рисунке дано: C = 50, A1 = A2 , B1 = B2. a).Вычисли D. b).Докажи, не опираясь на то, что C = 50: D = 0.5C.

Ответы. 29).a).35, 35; b).30, 75, 75; c).20, 20, 40. 30).a).75, 60, 45; b).30, 60, 90; c).54, 54, 72; d).20, 70, 90. 31).a).90, 72, 18; b).80, 50, 50; c).90, 45, 45. 32).a).100, 40, 40; b).70, 55, 55. 34).B = 30, BAD = 90. 35).A = 40, B2 = 30. 36).a).a = 55, b = 100; b).a = 125, b = 20; c).a = 25, b = 35; d).a = 40, b = 50; e).a = b = 60; f).a = b = 70. 38).b).25, 25, 130. 41).25. 42).45.

43).15. 44).40. 45).75. 46).36. 47).60. 48).72. 49).b).108. 50).ADE = 30, DBC = 35. 51).20. 52).b).50. 53).125. 54).50. 55).a).25.

Сумма углов четырехугольника

Теорема (5). Сумма внутренних углов четырехугольника равна 360.

56).Докажи теорему (5).

57).Найди углы четырехугольника, если они относятся друг к другу как : a).1:2:3:4; b).2:3:5:8; c).1:2:4:5.

58).Найди углы четырехугольника, если: a).три угла четырехугольника равны друг другу, а четвертый - больше на 40 каждого из них; b).каждый из углов четырехугольника по порядку на 10 больше прилежащего(кроме первого угла по сравнению с четвертым); c*).при проведении одной из диагоналей четырехугольника получается два равнобедренных треугольника с углами в каждом из них 80, 50, 50 (разберись с несколькими возможностями, найди их все).

59).(Рис. 52a - 52d).Найди углы, обозначенные через Х, в каждом из следующих четырехугольников.

60).(Рис. 53)Углы D и D в четырехугольнике ABCD - прямые. Докажи: a = b.

61).(Рис. 54)На рисунке дано: a = b. a).Докажи: ABC + D = 180.

b).Дано: DEB = ABC. Докажи: BE || AD.

B = AC, EB = BD, E = A., BD - гипотенуза АВС. Вычисли А.

62).(Рис. 55)На рисунке обозначены три прямых угла и углы a, b и g. Докажи с помощью суммы углов внешнего четырехугольника, что a = b + g. И найди, какое данное - лишнее.

63*).(Рис. 56)На рисунке дано: D = 90, AD = BD = DC. Докажи: ABC = 135.

64*).(Рис. 57 четырехугольнике ABCD дано: BE и DE - биссектрисы B и